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jasmin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 20:33: | 
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Hallo, wie kann ich beweisen, dass folgende Funktion differenzierbar mit f'(a)= 0 ist?
f(x):= (x-2)hoch 2 * g(x), wobei f,g Funktionen von D nach R sind, a ein Häufungspunkt von D ist, und g beschränkt ist.
Vor allem die Rolle der Beschränktheit von g leuchtet mir hier echt nicht ein.
Ciau |
Kai
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2000 - 23:10: |
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f'(a)=2(a-2)g(a)+(a-2)2*g'(a)
Wähle zum Beispiel g(x)=1. Dann ist die Behauptung falsch, da f'(a)=-2¹0
Kai |
Jasmin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2000 - 19:07: |
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Danke für deine Hilfe. Aber welche Behauptung ist dann falsch (tschuldige, du weißt ja, Mathe...)
Ciau |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2000 - 19:34: |
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Hallo Jasmin,
Du könntest doch auch alternativ f'(a) = 0 setzen. Dabei erhälst Du dann nach kurzem Umformen:
0 = (a-2)* [ g'(a)*(a-2)+ 2*g(a)]
Daraus folgt dann a1 = 2 oder
a2 = - 2 [g(a)/g'(a)] + 2
Daraus folgt dann doch unmittelbar, das die Behauptung, es gibt ein a, für das f'(a) = 0 ist, richtig ist. In unserem Fall finden wir sogar verschiedene a. Für a2 können wir auch noch an den von Kai schon geschilderten Fall anschließen: Wenn g(x) eine konstante Funktion ist, ist g'(x)=0. Bei a2 heisst das aber, das wir durch Null dividieren. Das kann aber nicht sein.
Daraus folgt: Ist g(x) konstant, ist die Behauptung f'(a)=0 trotzdem erfüllt, da für a=2 die Behauptung auch erfüllt wird. Ist g(x) eine Funktion mit einem Graphen, welcher nicht parallel zur x-Achse ist (also nicht konstant ist), dann gibt es zwei a. Du siehst schon, der Beweis ist "wasserdicht"
Viele Grüsse
Oliver |
Jasmin
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 17:55: |
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Vielen Dank für eure ausführliche Hilfe. Aber ich hänge noch an einer Sache fest: in der Aufgabenstellung wird ausdrücklich erwähnt, dass g nur beschränkt ist, d.h. nicht stetig oder gar differenzierbar. In eurer Lösung verwendet ihr jedoch die Produktregel und bildet g'(x). Bin ich mit dieser Anmerkung auf dem Holzweg (wie so oft..)?
Ciau |
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