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Beitrag |
    
Phil (Phill)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juli, 2000 - 09:19: | 
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Folgende Aufgabe:
Für welche t E R ist die zweite Ableitung
positiv definit?
f(x,y,z)=0,5x^2 + 2y^2 +2z^2 +xy +txz +2yz
1 1 t
f" = 1 4 2 , für positive Definitheit
t 2 4 gilt doch:
det(a11) , det ( a11 a12 ) , det ( ) müssen
a21 a22
positiv sein. a11=1, also pos., det(..) =3 >pos.
in bezug zur Aufgabe bleibt dann doch noch zu
überprüfen für welche t die letzte det positiv
ist. Dabei komme ich zu: -4t^2+4t+8
für welche t also ist dies positiv?
Phil |
H.R.Moser.megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juli, 2000 - 13:49: |
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Hi Phil,
Deine Fragestellung ist etwas unpräzis:
Richtig wäre:
Für welche Werte von t ist die gegebene quadratische Form
positiv definit ?
Für die Lösung der Aufgabe bist Du auf dem richtigen Weg;
den schwierigeren Teil mit den Determinanten hast Du erledigt
Es bleibt bloss noch die Auflösung der quadratischen Ungleichung,
die ich leicht äquivalent umgeformt habe zu
t ^ 2 - t - 2 < 0 , zu lösen. Die Funktion y = t ^ 2 - t - 2 stellt
in einem (t,y)-Koordinatensystem eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel S ( 0.5 / - 2.25 ) dar. Die Parabel schneidet die t-Achse
in den Punkten A(-1 / 0 ) , B( 2 / 0 )
Daher ist obige Ungleichung für das t-Intervall - 1 < t < 2 erfüllt
und für diese t-Werte die gegebene quadratische Form positiv definit.
Anmerkung
Man kann auch mit Hilfe der Eigenwerte der symmetrischen Matrix,
welche zur quadratischen Form gehört, die gestellte Aufgabe lösen.
Sind alle Eigenwerte positiv, so ist die quadratische Form positiv definit.
Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte lautet
( lambda gleich u gesetzt ):
4 * u ^ 3 -18 * u ^ 2 + 19 * u - t ^ 2 * u - 4 - 2 * t + 2 * t ^ 2 = 0
Für t = -1 und t = 2 ist je genau einer der Eigenwerte null ,
die anderen sind positiv.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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