Autor |
Beitrag |
Kai
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 08:15: |
|
Hy, Die Eigenwerte fogender Matrix sind zu berechnen. 1 0 2 0-1 2 2 2 0 Was sind Eigenwertew? |
ari
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 09:46: |
|
Hi Kai, ist x ein Vektor in R³, x=(x1,x2,x3) und A eine Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten, so ist A*x zunächst nichts anderes als ein neuer Vektor x' in R³. Anschaulich wird das erst, wenn Du z.B. drei Vektoren x,y,z hast, die die Eckpunkte eines Dreiecks bilden. Wenn Du jetzt alle drei Vektoren mit A malnimmst, so bilden die drei Vektoren x'=A*x, y'=A*y, z'=A*z ebenfalls ein Dreieck, das je nach Gestalt von A zum ersten Dreieck um einen Winkel gedreht, verschoben, gespiegelt ... ist. Ein Sonderfall liegt dann vor, wenn die Multiplikation A*x die Lage von x nicht verändert, sondern lediglich bewirkt, daß x verlängert oder gestaucht wird, etwa 3*x liefert. das kann man dann so schreiben: A*x=3*x In diesem Fall nennt man 3 einen EIGENWERT der Matrix A und den Vektor x einen EIGENVEKTOR dieses Eigenwerts. A*x=3*x ist gleichbedeutend mit A*x - 3*x = 0 (Nullvektor), was wiederum heißt (A-3)*x = 0 Ausführlich, was heißt (A-3), wie sieht die Matrix aus? A*x=3*x heißt a11x1 + a12x2 + a13x3 = 3x1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 3x2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 3x3 Rechte Seite nach links bringen und die x1 ... ausklammern (a11-3)x1 + a12x2 + a13x3 = 0 a21x1 + (a22-3)x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + (a33-3)x3 = 0 (A-3) ist also die Matrix A, wobei in der Hauptdiagonalen immer 3 abgezogen wird. In Deinem Beispiel ist die Matrix A gegeben, die Eigenwerte sind gesucht. Die unbekannten Eigenwerte kriegen den Buchstaben e verpaßt. Dann heißt das (A-e)*x = 0. Die Matrix A-e ist dann 1-e....0.....2 0.....-1-e...2 2......2....-e Du kannst diese Unbekannten e berechnen, indem Du die Determinante D dieser Matrix (A-e) berechnest, etwa nach der Sarrus'schen Regel D=+a11(a22a33-a23a32) ..-a12(a21a33-a23a31) ..+a13(a21a32-a22a31) und gleich Null setzt (D=0). (Das habe ich aus dem Archiv geklaut, Stichwort "sarrus"). Schon der erste Term zeigt, daß Du Potenzen von e, also e² und e³ erhältst. Das ist also genau so wie ein Polynom dritten Grades, dessen Nullstellen Du suchst (eine Nullstelle suchen, dann Polynomdivision, was ein Polynom zweiten Grades liefert, dann Mitternachts- bzw. p-q-Formel). Die drei Lösungen e1, e2, e3 sind dann endlich Deine Eigenwerte der Matrix A. Ich hoffe, das hilft etwas. Ciao. |
ari
| Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 08:35: |
|
Hi, auch wenn Kai das nicht liest bzw. antwortet, muß ich einen blöden Fehler in meiner Erklärung der Eigenwerte korrigieren. Ich schrieb: A*x=3*x ist gleichbedeutend mit A*x - 3*x = 0 (Nullvektor), was wiederum heißt (A-3)*x = 0 Die letzte Zeile ergibt keinen Sinn (was ist Matrix minus Zahl?). Man kann nur Matrizen voneinander abziehen. Im Beispiel soll von der Matrix A eine andere abgezogen werden, die außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen, in der Hauptdiagonalen immer die Zahl 3 hat. Das erreicht man mittels der Einheitsmatrix 1...0...0 0...1...0 0...0...1 die hier mit I³ bezeichnet wird (3 Zeilen, 3 Spalten, da R³ zugrunde liegt). Die richtige Matrix ist dann 3*I³ = 3...0...0 0...3...0 0...0...3 und die falsche Zeile muß dann ersetzt werden durch (A-3*I³)*x = 0 Ciao. |
|