| Autor |
Beitrag |
    
AgentDoppel 0
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 15:15: | 
|
Ich muß zu morgen ein Additionstheorem beweisen, könnt ihr mir sagen wie`s geht? Danke.
PS.:Könnt ihr mir die Lösung auch mailen ?? |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 16:22: |
|
Hallo AgentDoppel 0,
erste Frage:
Um welches Additionstheorem handelt es sich?
[sin(a+b),cos(a+b),tan(a+b) oder cot(a+b)]
Für sin(a+b) und cos(a+b) hätte ich gleich zwei Herleitungen im Angebot:
1)Lehrbuchmethode
2) ber "Drehgleichungen"
Wähle aus!
Ciao
Niels |
AgentDoppel 0
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 17:36: |
|
es ist sin(a+b)
Die Lehrbuchmethode wäre gut.
danke |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 19:29: |
|
Hallo Agent Doppel o,
Ich setze vorraus das aus den Sinussatz bereits bekannt istL:
a=2r*sin(a)
b=2r*sin(b)
c=2r*sin(c)
Weitere Vorraussetzungen sind die Winkelfunktionsdiffinitionen im rechtwinkliegen Dreieck und die Winkelsumme in Dreiecken spielt eine wichtige Rolle.
Auserdem setze ich vorraus, das folgendes bekannt ist.
Sin(a)=sin(180-a)
Dann schaue dir meine Skizze an:
Ich habe die Winkel bei A,B und C nicht eingezeichnet. Sie heißen Alfa=a;Beta=b und Gamma=c.
Aus der Winkelsumme geht hervor:
a+b+c=180°
c=180°-a-b
c=180°-(a+b)
Aus sin(a)=sin(180°-a) geht hervor, das....
Sin(180-(a+b)=sin(a+b)
Das setzen wir oben für Gamma ein:
c=2r*sin(a+b)
Jetzt drücken wir c durch x und y aus:
c=x+y
x und y werden jetzt wiederum ersetzt, und zwar drücken wir x und y duch die Bezihungen zwischen b und den Winkel Alfa(a) sowie die Bezihungen zwischen a unt Beta(b) aus.
Es gilt:
cos(a)=x/bÞx=b*cos(a)
cos(b)=y/aÞy=a*cos(b)
Das setzen wir ein:
c=a*cos(b)+b*cos(a)
Und jetzt setzen wir für a,b und c ein:
2r*sin(a+b)=2r*sin(a)*cos(b)+2r*sin(b)*cos(a).|:2r
sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)
==================================== q.e.d
Ich hoffe du hast alles verstanden!
Ciao
Niels |
AgentDoppel 0
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 20:52: |
|
Danke, echt cool von Dir !!! |
Felix
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 13:41: |
|
Wie berrechnet man mit dem Additionstheorem
sin(1/2x) ??
Unser Lehrer hat gesagt ,da kommt irgend etwas mit Wurzel drin vor !!!
am ende müssen aufjeden fall cosx und sinx da stehen |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 15:28: |
|
Hi Felix!
Man beginnt mit dem Additionstheorem
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
Nun setzen wir a= b = 1/2x
Damit erhalten wir:
cos(1/2*x+1/2*x)=cos(1/2*x)cos(1/2*x)-sin(1/2*x)sin(1/2*x)
Also
cos(x)=cos²(1/2*x)-sin²(1/2*x)
Nun ist ja bekannt, dass cos²(...) das Selbe ist wie 1-sin²(...), weil ja sin²+cos²=1 ist
Also hätten wir
cos(x)=1-sin²(1/2*x)-sin²(1/2*x)
cos(x)=1-2sin²(1/2*x)
2sin²(1/2*x)=1-cos(x)
(sin(1/2*x))²=(1-cos(x))/2
Daraus folgt, dass (wenn sin(1/2*x)>0 ist)
sin(1/2*x)=Ö{(1-cos(x))/2}
Falls sin(1/2*x) negativ ist, dann gilt:
sin(1/2*x)= - Ö{(1-cos(x))/2}
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Felix
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 09:02: |
|
Vielen Dank !! |
Judith
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 12:40: |
|
Kann mir jemand den Additionstheorem von cos(a+b) beweisen? |
IQzero
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 16:21: |
|
Hi Judith!
Als Skizze mach mal ein ein normal beschriftetes Dreieck in dem Du noch zusätzlich die Höhe h auf c einzeichnest. Der entstandene linke Abschnitt von c sei q, der rechte sei p.
Vorweg musst Du noch wissen, dass gilt:
cos(-a) = -cos(a)
{ Die Argumente der trig. Funktionen sollen selbstverständlich die Winkel und nicht die Seiten sein! }
Los geht's mit dem Cosinussatz:
c² = a² + b² - 2abcos(c)
=> 2abcos(c) = a² + b² - c²
{ Pythagoras in den beiden Teildreiecken; c = q + p }
=> 2abcos(c) = h²+p² + h²+q² - (q+p)²
{ Winkelsumme: a + b + c = 180° }
=> 2abcos(180°-(a+b)) = 2h² + p² + q² - p² - 2qp - q²
{ wegen cos(-a) = -cos(a) gilt: }
=> -2abcos(a+b) = -2 qp + 2 hh
{ alles durch -2ab teilen }
=> cos(a+b) = qp / ba + hh / ba
=> cos(a+b) = q/b p/a + h/b h/a
{ sin, cos Definitionen in den Teildreiecken anwenden }
=> cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
q.e.d.
Wenn Du noch 'ne Frage dazu hast, dann melde Dich einfach nochmal!
P.S.: Mit komplexen Zahlen geht alles noch viel schneller! |
IQzero
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 16:26: |
|
Hi!
Ich hab gerade gesehen, dass ich mich vertippt habe:
FALSCH:
=> cos(a+b) = qp / ba + hh / ba
=> cos(a+b) = q/b p/a + h/b h/a
--------------------------------
RICHTIG:
=> cos(a+b) = qp / ba - hh / ba
=> cos(a+b) = q/b p/a - h/b h/a
Ich hoffe ich hab nich noch mehr davon drin. |
Judith
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 09:01: |
|
Vielen Dank IQzero! |
|
