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QHF
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2000 - 17:11: | 
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Hi, kann mir jemand den Beweis für den Grenzwert einer Zahlenfolge erklären? Vielleicht am Beispiel an= (5n-4)/(1-2n)
Der Grenzwert ist ja -5/2... doch der Beweis?... |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 11:48: |
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Hi QHF,
ohne Formalismus hat eine Zahlenfolge (an) einen (endlichen) Grenzwert a, wenn ab irgendeinem N0 für die Folgenglieder a(N0+1), a(N0+2), a(N0+3), ... bis in alle Ewigkeit folgendes gilt:
der Abstand eines jeden solchen Folgengliedes vom Grenzwert a, also die Differenz, wird immer kleiner (im besten Fall Null).
Einfachstes Beispiel: an = 1/n. das hat anschaulich den Grenzwert 0, auch wenn an stets ungleich Null bleibt.
Ab wann bleibt an = 1/n kleiner 0,9?
Rechnung: 1 kleiner 0,9*n = 9*n / 10
D. h. 10 / 9 = 1, ... kleiner n
Also bleibt ab N0 = 2 immer an kleiner 0,9
Ab wann bleibt an = 1/n kleiner 0,09?
Rechne wie oben, Du kriegst
100/9 kleiner n, also 11,... kleiner n.
Ab N0 = 12 bleibt also 1/n kleiner 0,09
Analog: 1/n kleiner 0,009 etc.
Der Trick ist die Auflösung der Ungleichung nach n. Du selbst gibst die "Toleranz" oder Abweichung vor (z. B. 0,00009) und berechnest N0. Für alle folgenden an (also n>N0) bleibt die Folge 1/n unter Deiner Toleranz.
Soweit allgemein. Die Folge 1/n mit dem Grenzwert 0 jetzt mal akzeptiert, ist es (fast) immer so, daß man/frau "BLOß" oder "NUR" auf den richtigen Trick kommen muß, um eine konkrete Folge so umzuformen, daß darin diese 1/n auftauchen.
An Deinem Beispiel:
5*n - 4
--------
1 - 2*n (Im Zähler und Nenner n ausklammern)
n*(5 - 4/n)
-----------
n*(1/n - 2) (n rauskürzen)
5 - 4/n
-----------
1/n - 2
Du weißt: 1/n gegen Null. Damit geht 4/n gegen 4*0=0. Also läuft Deine Folge gegen
(5 - 0) / (0 - 2) = -5/2
Ein Tip: Bei Brüchen liegt die Lösung häufig im geeigneten Erweitern, so daß der Nenner einfacher wird.
Ciao. |
Tom
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 14:37: |
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Der Beweis von Anonym ist sehr anschaulich und für das Verständnis schön. Aber er beweist nicht,denn es könnte ja eine Toleranz geben,
welche nicht von allen Gkiedern a(n) für n>=N0
unterschritten wird.
Der Satz für Grenzwerte lautet ja: Für ein beliebig klein gewähltes e > 0 existiert ein
N0 derart, das |a(n)-a| < e für n >= N0.
Für unendlich viele e>0, das heißt für ganz R+
muß die Behauptung für eine gegebene Folge gezeigt werden. Beispliel:
Ist lim (n->unendlich)(1/n) = 0?.
Wir setzen (1/n) < e an, wobei e beliebig aus R+
ist. Dann muß n > (1/e) sein, also wenn e ein
Millionstel ist, dann muß n größer als eine Million, also EineMillionundEins sein. Nach dem Archimedischen Prinzip
gibt es zu jeder reellen Zahl r ein natürliche Zahl N mit N>r. Ist beispielsweise e=1/Pi,
so ist N0 > Pi => N0 = 4 und a(4), a(5), a(6),....
liegen alle in der (1/Pi)-Umgebung von 0.
Für einen Beweis wurde der archimedische Satz
und die strikten Ungleichungen (1/n)<e, e>0 benutzt. |
Seppo@
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 14:12: |
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Brauche die bildungsformel für Zahlenfolge:
a) -2,4,-8,16,-32,64,...
b) -2,4,-6,8,-10,12,...
danke |
bitte
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 23:27: |
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a) (-2)n
b) -2n
bitte |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 11:53: |
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Korrektur zu b)
(-1)n2n |
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