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Beitrag |
    
Robert
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. April, 2000 - 18:28: | 
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Ich habe Probleme bei der Aufgabe "Beweise mit Hilfe der vollständigen Induktion,dass die
Innenwinkelsumme w in einem konvexen n-Eck
( n>2; neN ) w =(n-2)*180 beträgt." Ich weis
überhaupt nicht, wie das machen soll. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. April, 2000 - 20:16: |
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Hallo Robert,
Für den Beweis durch vollständige Induktion nehmen wir an, dass die Formel
wn=(n-2)*180° stimmt. Dies ist unsere Hypothese.
Nun müssen wir beweisen, dass dann die Formal auch für (n+1) stimmt.
also: wn+1=(n+1-2)*180° = (n-1)*180°
Jetzt bitte meine Skizze ansehen:
Das schwarze Vieleck sei ein n-Eck, von dem wir die Winkelsumme ja kennen: nämlich (n-2)*180.
Jetzt fügen wir ein weiters Eck hinzu: wir ersetzen die punktierte schwarze Linie durch die roten Linien.
Wir sehen, dass für das entstehende (n+1)-Eck, die drei roten Winkel hinzukommen. Diese sind aber zusammen 180° (weil Winkelsumme eines Dreiecks).
Das (n+1)-Eck hat also die Winkelsumme: wn+180°
Dies setzen wir in unsere Hypothese ein:
wn+1=(n-2)*180° + 180°
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= 180*[(n-2)+1] = (n-1)*180°
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Damit haben wir bewiesen:
Falls die Formel für n stimmt, dann stimmt sie auch für (n+1).
Jetzt bleibt noch zu zeigen, dass die Formel für n=3 stimmt.
Dies ist für ein Dreieck:
w3=(n-2)*180 = 1*180° =180° stimmt also.
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Die Formel stimmt für n=3, also stimmt sie auch für n=4.
Weil sie für n=4 stimmt, stimmt sie auch für n=5 usw usw.
Die Formel stimmt für alle n größer als 3.
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image{a} |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. April, 2000 - 20:17: |
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ruediger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 12:07: |
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Hallo Fern,
Du solltest schon von dem n+1-Eck ausgehen und daraus das n-Eck konsturieren, sonst implizierst Du die Konstruierbarkeit jedes n+1-Ecks aus einem n-Eck
Gruß, ruediger |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 17:24: |
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Hallo ruediger,
Ich verstehe deine Bemerkung nicht.
Wenn ich von (n+1) ausgehe und die Formel für n beweise, dann kann höchstens die Richtigkeit für alle n kleiner als (n+1) bewiesen sein. Wahrscheinlich verstehe ich dich ganz falsch. Bitte um nähere Erklärung.
Gruß, Fern |
ruediger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 07:32: |
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Hallo Fern,
was ich meine ist hier natürlich banal,
in komplizierten Beweisen uU ein Stolperstein.
Du sagst:
"Das schwarze Vieleck sei ein n-Eck, von dem wir die Winkelsumme ja kennen: nämlich (n-2)*180.
Jetzt fügen wir ein weiters Eck hinzu: wir ersetzen die punktierte schwarze Linie durch die roten Linien.
Wir sehen, dass für das entstehende (n+1)-Eck ....."
Damit hast im weiteren gezeigt, dass die Aussage für alle n+1-Ecke, die sich in obiger Weise
konstruieren lassen, wahr ist. Wer sagt denn, dass ALLE n+1-Ecke so entstehen?
Mit "von n+1 ausgehen" meine ich:
"Das schwarze Vieleck sei ein n+1-Eck,
Jetzt nehmen wir ein Eck heraus und verbinden Vorgänger und Nachfolger. Übrig bleibt ein n-Eck,von dem wir die Winkelsumme ja kennen: nämlich (n-2)*180. ....."
sorry für diese Spitzfindigkeit, aber an solchen Sachen sind schon manche "Beweise" gekracht.
gruß, ruediger |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 10:00: |
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Hallo ruediger,
Danke, ich verstehe jetzt, was du meinst.
Man muss zeigen, dass man aus ALLEN (n+1)-Ecken durch Wegnehmen eines Dreieck ein n-Eck erhält und dann den Induktionschluss führen.
Da zeigt sich wieder, dass ich doch kein "richtiger" sondern nur ein "Hobby"-Mathematiker bin.
Jedenfalls Danke für den Hinweis.
Gruß, Fern |
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