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Michel
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 17:41: | 
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Hallo megamath
Ich stelle hier eine interessante Extremalaufgabe, wo ich Mühe habe:
Von einer Ellipse ist der Flächeninhalt A = 12*Pi gegeben. Der Umfang lässt sich nährungsweise berechnen mit
U = Pi/2(3a+3b-2sqrt(ab))
a) Untersuche, wie die Halbachsen a und b gewählt werden müssen, damit der Umfang der Ellipse minimal wird. Berechne diesen Umfang.
b) Skizziere zwei verschiedene Ellipsen, deren Flächeninhalt gleich dem gegebenen ist und zeichne die Lösung von a) in diesselbe Figur.
c) Ueberlege (ohne Rechnung) wie die Halbachsen bei gegebenem Umfang wohl gewählt werden müssen, damit der Flächeninhalt maximal wird?
danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 18:32: |
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Hi Michel,
Mir gefällt Deine neueste Aufgabe sehr. Sie hebt sich nach meiner Meinung in wohltuender Art von den sonst üblichen Extremalproblemen mit Nebenbedingung ab.
Diese Nebenbedingung ergibt sich hier aus der Festlegung des Flächeninhalts A der Ellipsen, die zu betrachten sind. Es wird A = 12 * Pi verlangt , andrerseits - und das muss man hier wissen - gilt allgemein für Ellipsen:
A = Pi * a * b , wobei a und b die Halbachsen sind.
Diese Formel wird an den Schulen in der Regel bei der Behandlung der Ellipse als affines Bild des Kreises hergeleitet. Aber wie dem auch sei, wir haben sie jetzt zur Verfügung und finden beim Gleichsetzen die Beziehung b = 12 / a.
Dies setzen wir in die Näherungsformel für den Umfang einer Ellipse ein, die in der Aufgabenstellung mitgeliefert wird. Diese Formel stammt von Boussinesq (mit schwachem B !), ist sehr einfach , aber nicht sehr genau. Sie liefert noch gute Werte für grössere Werte des Quotienten b/a. Für kleinere Quotienten liefert eine von Soreau aufgestellte Formel. bessere Dienste.
Wir erhalten den Näherungswert für den Umfang u als Funktion von a :
u ( a ) = Pi/2*(3 a + 36/a - 2 * sqrt( 12 )) ; wir leiten nach a ab:
u ' ( a ) = Pi/2 * ( 3 - 36 / a^2 ) ; Nullstelle a = 2 * sqrt( 3 ); ein Minimum liegt vor, weil die zweite Ableitung positiv ist.
Aus der Nebenbedingung erhalten wir den zugehörigen Wert für b, der mit a übereinstimmt; es liegt somit ein Kreis vor, ein nicht ganz abwegiges Resultat !
Der gesuchte minimale Umfang ist u = 4 * Pi * sqrt ( 3 ).
Teilaufgabe b) : Wertepaare für a und b : a = 6 , b = 2 und a = 4 , b = 3 , etc.
Teilaufgabe c) : Kreis in Analogie zu a).
Weiterhin erfolgreiches Studium wünscht Dir
H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 07:46: |
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Gibt's das auch räumlich: Ellipsoid mit minimaler Oberfläche? (Wassertropfen ziehen sich ja wohl wg Oberflächenspannung zu Kugeln zusammen? Oder Seifenblasen?) |
Michel
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 13:05: |
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Hallo megamath!
Wieder eine Extremalaufgabe, wo ich Hilfe benötige....
Welche Punkte P(x/y) auf der Parabel
y = -x^2+4x+1/2 besitzen vom Punkt Q(2/0) den kleinsten Abstand?
Berechne diesen kleinsten Abstand.
Gruss
Michel |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 13:45: |
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Hi Michel,
Zur Lösung dieser Aufgabe benötigst Du die Formel für den Abstand d des laufenden Punktes P(x/y) der Parabel vom festen Punkt Q ( 2 / 0 ) und zwar am besten in der quadrierten Form.. Sie lautet:
d ^ 2 = ( x - 2 ) ^ 2 + y ^ 2. Ersetzt man darin y ^ 2 durch das Quadrat der rechten Seite der Parabelgleichung, so erhält man d ^ 2 als Funktion f(x) von x allein:
f ( x ) = d ^ 2 = ( x - 2 ) ^ 2 + ( - x ^ 2 + 4 x + ½ ) ^ 2 =
= x ^ 2 - 4 x + 4 + x ^ 4 + 16 x ^ 2 +1 / 4 - 8x ^ 3 + 4 x - x ^ 2 =
= x ^ 4 - 8 x ^ 3 + 16 x ^ 2 + 17 / 4
Die erste Ableitung f ' ( x ) lautet :
f ' (x) = 4 x ^3 - 24 x ^2 + 32 x = 4 x ( x ^2 - 6 x + 8 ) ;
die Nullstellen sind : x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = 4.
Aus der zweiten Ableitung f ' ' (x) = 12 x ^ 2 - 48 x + 32 erkennen wir :
für x = 0 liegt ein relatives Minimum vor , da f ''(0) = 32 > 0 gilt.
für x = 2 hingegen ein relatives Maximum wegen f '' (2) = - 32 0 ist. Die gesuchten Punkte sind demnach die Punkte P1 (0 / ½ ) und P2 ( 4 / ½ ) und der minimale Abstand beträgt (je) d min = P1 Q = P2 Q = ½ * sqrt(17) .
Anmerkung
Es ist oft hilfreich, wenn wir uns die Situation an Hand einer Skizze
veranschaulichen können. Im vorliegenden Fall ermitteln wir die Achse und den Scheitel der Parabel und zeichnen den Punkt Q sowie die Lösungspunkte P1 und P2 auf der Parabel ein.
Resultat : Parabel nach unten geöffnet. Scheitel der Parabel S ( 2 / 4.5)
(die Ableitung der Parabelgleichung ist null für x = 2) , Parabelachse s durch S , parallel zur y-Achse ; sie ist Symmetrieachse der Parabel: Q liegt auf s und die beiden Punkte P1 und P2 liegen bezüglich eben dieser Achse symmetrisch.
Der dritte Punkt mit x = 2, welcher ein relatives Maximum des Abstandes liefert, ist justement der Scheitel S .
Viel Erfolg bei der Auswertung dieser Ausführungen wünscht
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 16:38: |
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Hi Michel,
Noch eine Kleinigkeit zu Deiner Parabelaufgabe.
Als Gag und um Deinen Lehrer zu verblüffen, kannst du das Problem auch ganz ohne Differentialrechnung lösen. Das geht so: Du suchst einen Kreis mit dem Mittelpunkt in Q , der die Parabel ( von innen berührt ) . Du kannst den Punkt Q als Nullkreis auffassen und ihn gewissermassen aufblasen bis er die Parabel berührt. Aus Symmetriegründen wird er das an zwei Stellen gleichzeitig tun, nämlich gerade bei den gesuchten Punkten P1 und P2.
Rechnerisch kannst Du diesen Gedanken mit der sogenannten Diskriminantenmethode realisieren , indem Du bei der entstehenden biquadratischen Gleichung durch Nullsetzen der Diskriminante eine Doppellösung erzwingst.
Um die Parabelgleichung und auch die Gleichung des Kreises in handlicher
Form zu erhalten, führen wir eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems durch und zwar soll der Punkt Q ( 2 / 0 ) neuer Nullpunkt werden (die x -Achse bleibt dabei fest , die y-Achse wird um 2 Einheiten nach rechts verschoben) .
Die alten Koordinaten (x/y) drücken sich durch die neuen (x'/y') wie folgt aus :
x = x ' + 2 , y ' = y.
Bei der Parabelgleichung verschwindet das lineare Glied, und sie lautet im neuen System so :
y ' = - ( x ' + 2 ) ^ 2 + 4 ( x' + 2 ) + ½ = - x ' ^ 2 + 9 / 2 .
Die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt in Q , Radius R ,hat die einfache Gleichung
x ' ^ 2 + y ' ^ 2 = R ^ 2 , da der Mittelpunkt mit dem Nullpunkt zusammmenfällt..
Wenn wir die Schnittpunkte von Kreis und Parabel ermitteln wollen, eliminieren wir y ' : einsetzen des Wertes von y' aus der ersten Gleichung in die zweite:
x ' ^ 2 + x' ^ 4 - 9 x ^ 2 + 20.25 - R ^ 2 = 0 oder:
x' ^ 4 - 8 x ' ^ 2 + 20,25 - R ^2 = 0 Für diese biquadratische Gleichung in x ' berechnen wir die Diskriminante D und setzen diese null , um Doppellösungen und damit eine Berührung von Parabel und Kreis zu erhalten.
Es kommt nach einer bekannten Formel für die Diskriminante: D = b^2 - 4 a c
= 64 - 4* ( 20.25- R ^ 2 ) = 0 , also R = sqrt (17 ) / 2 , und das ist der früher errechnete Minimalabstand.
Die x -Werte der Berührpunkte bekommt man als Lösungen der biquadratischen Gleichung unter Berücksichtigung der Tatsache , dass ihre Diskriminante null ist:
x ^ 2 = (8 + 0) / 2 = 4 , also x ' 1 = - 2, daraus x1 = 0 und x ' 2 = - 2 , daraus x = 4 wie früher.
Damit ist das Vorhaben gelungen
Gruss H . R. |
Michel
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 21:25: |
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Danke megamath!
Kann es mal versuchen, ob ich ihn damit verblüffen kann....
Er stresst mich schon wenig, denn hier habe ich wieder ein Problemchen:
Gegeben sind eine Ellipse in Normallage mit den Halbachsen a=4 und b=3 und ein Punkt Q(u/0), 0<u<a.
Welche Ellipsenpunkte P haben von Q (bei gegebenem u) den kleinsten Abstand?
Löse die Aufgabe allgemein und speziell für u = 1 und u = 2.
Welches u trennt die beiden unterschiedlichen Fälle?
gruss
michel |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 23:10: |
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Hi Michel ,
Auch zur Lösung dieser Aufgabe wird die Formel für den Abstand d = P Q verwendet , wobei P ( x / y ) der laufende Punkt auf dem Ellipsenbogen im ersten Quadrant und Q der feste Punkt Q (u / 0 ) ist .
Es gilt :
d ^ 2 = ( x - u ) ^ 2 + y ^ 2 . Wir ersetzen darin y ^ 2 durch den entsprechenden Wert für y ^ 2 aus der Ellipsengleichung ; diese lautet mit
b ^ 2 * x ^ 2 + a ^ 2 * y ^ 2 = a ^ 2 * b ^ 2 : 9 x ^ 2 + 16 y ^ 2 = 144 , oder nach y^2 aufgelöst:
y ^ 2 = 9 - 9 * x ^ 2 / 16, diesen Term setzen wir in die Abstandsformel ein, und wir erhalten für d ^ 2 eine Funktion f(x) von x allein:
f(x) = d ^2 = ( x - u ) ^ 2 + y ^ 2 = x ^ 2 - 2 u x + u ^ 2 + 9 - 9 / 16* x ^ 2 =
= 7 / 16 * x^2 - 2 u x + u ^ 2 + 9 ; die Ableitung ist .
f ' (x) = 7 / 8 * x - 2 u mit x = x* = 16 / 7 * u als Nullstelle .
Aus f ''(x) = 7/8 > 0 schliessen wir auf ein Minimum.
Wir berechnen noch den zugehörigen y-Wert y = y* :
y* ^ 2 = 9 - 9 / 16 x* ^2 / 16 = 9 - 256 / 49 * 9 / 16 * u ^2 =
9 - 9/49* 16 * u^2 = 9 / 49 * ( 49 - 16 u ^2)
daraus
y * = 3 / 7 *sqrt ( 49 - 16 u ^2 ).
Nun zu den numerischen Beispielen für u :
1. u =1 ist unproblematisch .
wir erhalten x* = 16 / 7 ( dieser Wert liegt innerhalb des x -Intervalls [0, 4 ]
für den laufenden Punkt P (x/y) ) ; der entsprechende y - Wert ist:
y* =3 / 7 * sqrt ( 33 )
2. u = 2 : wir erhalten einen Wert für x, der nicht mehr im angegebenen Intervall liegt, nämlich x = 32 / 7 (> 4 ).Das Minimum wird am Rand angenommen, d.h. wenn der laufende Punkt auf der Ellipse mit dem Hauptscheitel A(4/0) zusammenfällt. Man spricht von einem Randextremum.
3. Wir berechnen nun denjenigen Wert für u , welcher die beiden Fälle voneinander trennt. Dieser Wert ergibt sich durch Nullsetzen
des Radikanden im Wurzelausdruck für y*.
Aus 49 - 16 u ^ 2 = 0 folgt : u = 7 / 4. für die Uebergangsstelle gewöhnliches Minimum / Randminimum.
Man kann nachweisen , dass der entsprechende Punkt auf der x-Achse gerade mit dem Krümmungszentrum für den Hauptscheitel A ( a / 0 ) usammenfällt.
Für den Krümmungsradius r bezüglich des Hauptscheitels A gilt nämlich
die Formel r = b^2 / a = 9 / 4, daraus ergibt sich für das Krümmungszentrum Z auf der x-Achse der Punkt mit der x - Koordinate
a - b^2 / a = 4 - 9/4 = 7 / 4 wie soeben !
Ich glaube, diese Aufgaben damit zur Genüge erläutert zu haben.
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.her
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. April, 2000 - 21:28: |
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Bemerkungen zu einer Anregung von Franz,
Die Extremalaufgabe betreffend Flächeninhalt / Umfang der Ellipse (Näherung von Boussinesq) lässt sich tatsächlich auf Ellipsoide übertragen. Wenigstens für Rotationsellipsoide ist der Rechenaufwand ziemlich aufwendig, aber doch noch erträglich.
Als Meridiankurve dient die allgemeine Ellipse b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2
(a>b , lineare Exzentrizität e)
1. Bei der Rotation um die x-Achse entsteht ein gestrecktes Rotationsellipsoid mit der Oberfläche:
F1 = 2 b ^ 2 * Pi + 2 a ^ 2 * b * Pi / e * arc sin (e / a )
2. Bei der Rotation der Ellipse um die y- Achse entsteht das abgeplattete
Rotationsellipsoid mit der Oberfläche:
F2 = 2 a ^2 * Pi + a * b ^2 * Pi / e * ln ( ( a + e ) / ( a - e ) )
Das sind bemerkenswerte Formeln. Der erste Summand stellt jeweils die Fläche einer Halbkugel dar, bei F1 ist der Kugelradius b , bei F2 a .
Eine kleine Schwierigkeit stellt sich ein,wenn die rotierende Ellipse in einen Kreis übergeht, indem b gegen a und gleichzeitig e gegen null strebt. Mittels der Regel von De L'Hospital - Bernoulli lässt sich das Problem lösen:
a / e * arc sin (e / a) strebt gegen 1 , a / e * ln ((a+e / a-e)) strebt gegen 2 ;
man erhält in beiden Fällen das erwartete Resultat : Die Flächeninhalte F1 und F2 streben gegen den Wert der Kugeloberfläche 4 * Pi * a ^ 2 .
Mit bestem Dank für den Hinweis
H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. April, 2000 - 09:34: |
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Wunderbar, megamath, danke!
Um es auf die Spitze zu treiben: Läßt es sich irgendwie nachvollziehen, daß die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat (unter christlichen Voraussetzungen).
In der Physik gibt es ja wohl, wenn ich mich recht erinnere, eine verwandte Fragestellung: Wie gestaltet sich die Oberfläche einer kleinen inkompressiblen Flüssigkeitsmenge unter konstantem atmosphärischen Außendruck beim energetischen Minimum? Dieser Sonderfall wird wohl bedient von dem Laplace'schen Gesetz 1/R1 + 1/R2 = konst mit den zwei Hauptkrümmungsradien.
Ob und wie man hier weiterkommt, weiß ich leider nicht. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. April, 2000 - 13:18: |
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Eine zusätzliche Bemerkungen zur Extremalaufgabe bezüglich des Umfangs und der Fläche einer Ellipse / eine Buchempfehlung
Zu weiterführenden Fragen zu diesem Themenkomplex möchte ich auf ein ausgezeichnetes und äusserst lehrreiches Werk aufmerksam machen, das als deutsche Uebersetzung eines amerikanischen Werkes im Birkhäuser -Verlag, Basel, erschienen ist: Stefan Hildebrandt / Anthony Tromba , Kugel, Kreis und Seifenblasen. Optimale Formen in Geometrie und Natur..
Dieses Buch, in der Gestalt eines Bildbandes, enthält ausführliche und gut fundierte Textbeiträge,
u.a. zum isoperimetrischen Problem in der Ebene und im Raum. Ferner wird
auf den aus der Differentialgeometrie stammende Begriff des Gauss'schen Krümmung in einem Flächenpunkt und auf die mittlere Krümmung ,die auch Franz in seiner obigen Notiz erwähnt hat , eingegangen.
Weiterhin wird der Satz von Lagrange über Minimalflächen formuliert etc.
Wer Interesse an relevanten geometrischen Fragen hat , wird dieses Buch mit grossem Gewinn studieren
H.R.Moser,megamath. |
Hendrik (Henne)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 17:23: |
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Hallo Ihr!#Ich hab ein Problem ich weiß nicht genau wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
11) Ein Draht von der Länge a wird zu einem Rechteck gebogen. Dieses soll um eine der Seiten rotieren. Unter welchen Umständen hat der entstehende Zylinder
a) die größte Mantelfläche
b) den größten Rauminhalt ?
So, ich denke mir jetzt doch das
a = 4x + 8y sein muß.
Dies würde doch dann bedeuten das die Mantelfläche und das Volumen jeweils gleich sind, da in beiden Fällen das x und das y einmal die Höhe und den Radius beschreiben.
Liege ich da richtig |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2000 - 11:16: |
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Bitte nachrechnen: 2(x+y):=a; y=a/2 -x; r(x)=x; h(x)=a/2 -x;
a) M(x)=2pirh=2pix(a/2-x); M'(x)=0: x=a/4
b) V(x)=pir²h=pix²(a/2-x); V'(x)=0: x=a/3 F. |
Sternenfuchs (Sternenfuchs)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 17:27: |
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Zu Hendrik.
a=2*b+2*l
V=b2*p*l
M=2*b*p*l |
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