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Michel
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 15:16: |
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Hallo! Ich habe mit dieser Aufgabe! Ein gerader Kreiskegel besitzt das Volumen V=36*Pi, h bezeichne seine Höhe. a) Zeige, dass für den Inhalt des MAntels in Abhängigkeit der Höhe gilt: M(h)=((6*sqrt(3)*Pi)/h)*sqrt(108+h^3) b) Wie muss h gewählt werden, damit dieser Inhalt möglichst klein wird? Wie gross ist dieser minimale Inhalt? danke für die Hilfe |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 14:30: |
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Hi Michel, Zuerst legen wir die Bezeichnungen fest: h ist -wie in der Aufgabe postuliert- die Höhe und M die Mantelfläche des Kegels Weiter soll gelten:: r ist der Radius des Grundkreises und s ist die Länge einer Mantellinie ; es gilt : s ^ 2 = r ^ 2 + h ^ 2 nach Pythagoras von Samos , wie Du in einem Achsenschnitt des Kegels leicht feststellen kannst Der Mantel des Kegels lässt sich in die Ebene ausbreiten ; diese Abwicklung des Kegelmantels stellt einen Kreissektor dar, dessen Daten leicht erkennbar sind: Die Bogenlänge B des Sektors stimmt mit dem Umfang des Grundkreises überein, und der Radius R des Kreissektors ist s . Es ist als B = 2 * r * Pi , R = s. Die Fläche eines Kreissektors kann analog einer Dreiecksfläche berechnet werden : " Bogenlänge B mal Radius R des Sektors durch zwei " , also M = B * R / 2 = Pi * r * s (Achtung: r ist der Radius der Grundfläche des Kegels). Jetzt verwenden wir die mit der Aufgabe gegebene Volumenbedingung V = 36 * Pi ; aus der allgemeinen Formel für V ,welche V = 1/3*Pi * r^2 * h lautet, folgt r^2 = 108 / h , dies setzen wir in die oben hergeleitete Mantelformel ein und erhalten: M = Pi * r * s = Pi * r * wurzel(h^2+r^2) = Pi * wurzel( 108 / h ) * wurzel(h ^ 2 + 108 / h) = Pi * wurzel (108) / h * wurzel(h^3+108) Dies stimmt mit dem zu beweisenden Ausdruck überein. Für die Ermittlung des Minimums von M ist es zulässig , das Minimum des Quadrates von M zu bestimmen (Vorteil: wir brauchen keine Wurzel abzuleiten!) Ausserdem lassen wir konstante Faktoren weg, das geht ebenfalls Summa summarum kommt: Wir bestimmen einfach das Minimum der Funktion f(m)= 1/h^2 *(h^3 +108) = h + 108 / h^2 Die erste Ableitung ist : f '(m) = 1 - 216 / h^3 mit der einzigen reellen Nullstelle h = 6. Das gibt für die minimale Mantelfläche des Kegels nach leichter Rechnung: M min = 18 * Pi * wurzel (3). Hoffentlich ist dies alle einigermassen erfassbar ! Grüsse H.R. |
Michel
| Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 15:39: |
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Danke megamath! Es ist erfassbar! Grüsse Michel |
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