| Autor |
Beitrag |
    
anke
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 15:21: | 
|
Ermittle f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten!
a) f(x)= 1/ (Wurzel aus (x))
Meine Lösung:
f'(x)= 1/ (2x*(Wurzel aus (x)))
Ist das richtig?
b) f(x)= x*(Wurzel aus (x))
Kann mir irgendwer bei der Aufgabe helfen?
Danke schon mal! |
K.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 09:03: |
|
Hallo Anke
a) f(x)=1/Öx => f'(x)=-1/(2xÖx)
Mit Hilfe des Differenzenquotienten
f(x+h)-f(x))
=[1/Ö(x+h)-1/Öx]/h
=[(1/Ö(x+h)-1/Öx)(1/Ö(x+h)+1/Öx)]/[h(1/Ö(x+h)+1/Öx)]
=[1/(x+h)-1/x]/[h(Öx+Ö(x+h))/(Ö(x(x+h)))]
=[(x-(x+h))Ö(x(x+h))]/[h(x(x+h))(Öx+Ö(x+h))]
=[-hÖ(x(x+h))]/[hx(x+h)(Öx+Ö(x+h))]
=[-1Ö(x(x+h))]/[x(x+h)(Öx+Ö(x+h))]
für h->0 folgt damit
[-1Öx²]/[x²(Öx+Öx)]
=-x/[x²*2Öx]
=-1/(2xÖx)
zu b)
f(x)=xÖx
[f(x+h)-f(x)]/h
=[(x+h)Ö(x+h)-xÖx]/h
=[((x+h)Ö(x+h)-xÖx)((x+h)Ö(x+h)+xÖx)]/[h((x+h)Ö(x+h)+xÖx)]
=[(x+h)²(x+h)-x²*x]/[h((x+h)Ö(x+h)+xÖx)]
=[(x²+2hx+h²)(x+h)-x³]/[h((x+h)Ö(x+h)+xÖx)]
=[3hx²+3h²x+h³]/[h((x+h)Ö(x+h)+xÖx)]
=[h(3x²+3hx+h²)]/[h((x+h)Ö(x+h)+xÖx)]
=[3x²+3xh+h²]/[(x+h)Ö(x+h)+xÖx]
für h->0 folgt nun
3x²/(xÖx+xÖx)
=3x²/(2xÖx)
=3x²Öx/(2x²)=(3/2)Öx
Mfg K. |
anke
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 13:42: |
|
Könntest du b) auch noch mal ohne das h machen?
Wäre echt nett! Danke! |
anke
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 10:46: |
|
Kannst du das hier auch noch mal ohne das h machen? Wäre echt nett! |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 12:00: |
|
Hallo Anke
a) f(x)=1/Öx
[f(x)-f(xo)]/(x-xo)
=[1/Öx-1/Öxo]/(x-xo)
=[(1/Öx-1/Öxo)(1/Öx+1/Öxo)]/[(x-xo)(1/Öx+1/Öxo)]
=[1/x-1/xo]/[(x-xo)(1/Öx+1/Öxo)]
=[(xo-x)/(xxo)]/[(x-xo)(1/Öx+1/Öxo)]
=[-(x-xo)]/[xxo(x-xo)(1/Öx+1/Öxo)]
=-1/[xxo(1/Öx+1/Öxo)]
für x->xo folgt daraus
-1/[xo²(1/Öxo+1/Öxo)]
=-1/[xo²*2/Öxo]
=-1/[2xo²/xo1/2]
=-1/[2xo3/2]
-1/(2xoÖxo)=f'(xo)
b) f(x)=xÖx
[f(x)-f(xo)](x-xo)
=[xÖx-xoÖxo]/(x-xo)
=[(xÖx-xoÖxo)(xÖx+xoÖxo)]/[(x-xo)(xÖx+xoÖxo)]
=[x²*x-xo²*xo]/[(x-xo)(xÖx+xoÖxo)]
=[x²-xo³]/[(x-xo)(xÖx+xoÖxo)]
=[(x-xo)(x²+xox+xo²)]/[(x-xo)(xÖx+xoÖxo)]
=[x²+xox+xo²]/[xÖx+xoÖxo]
Für x->xo folgt daraus
[xo²+xo²+xo²]/[xoÖxo+xoÖxo]
=3xo²/(2xoÖxo)
=3xo/(2Öxo)
=(3/2)Öxo=f'(xo)
Mfg K. |
