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starla
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 10:54: | 
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habe eine quadratische pyramide mit dem volumen v=100 cm^3. Ages=G+M=200cm^2 (G= grundfläche und Mist der mantel..) nun soll ich mit diesen angaben alle anderen größen berechnen und zwar die Seitenlänge a und die Höhe h und die grundfläche G...
bitte helft mir |
Justin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 10:07: |
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Hallo starla,
wie sagte schon ein großer japanischer Philosoph: "Nichts ist unmöglich" :-)
Aber Spaß beseite. Auch wenn es so aussieht, als ob die Angaben nicht ausreichen würden, man kommt auf zwei Ergebnisse.
A(G) sei die Grundfläche der Pyramide; die ist quadratisch, also ist deren Flächeninhalt A(G) = a²
Die vier Dreiecke, die den Mantel der Pyramide bilden, sind allesamt kongruent, da sie die gleiche Grundseite - nämlich a - und die gleichen Höhen aufweisen müssen, wenn die Pyramide gerade ist - was ja der Normalfall ist.
Die Höhen der Dreiecke dürfen nicht mit der Höhe der Pyramide verwechselt werden.
h(P) sei also die Höhe der Pyramide
h(a) die Höhe eines der Dreiecke, die den Mantel bilden.
Und da besteht nun folgende Beziehung:
(h(a))² = (h(P))² + (a/2)²
Das sieht jetzt etwas kompliziert aus. Gemeint ist damit einfach, dass die Höhe eines der Dreiecke sich mit Hilfe des Pythagoras-Satzes aus der Höhe der Pyramide und der halben Länge(!) der Grundseite a berechnen lässt.
Daraus ergibt sich für eines der Dreiecke folgender Flächeninhalt A(D)
A(D) = a/2 * WURZEL((h(P))² + (a/2)²)
Das man es nun mit 4 Dreiecken zu tun hat, ist die Mantelfläche A(M) gleich dem vierfachen von A(D)
A(M) = 2a * WURZEL((h(P))² + (a/2)²)
Das Volumen der Pyramide berechnet sich so:
V = 1/3*a²*h
Die Oberfläche nun folgendermaßen
A = A(G) + A(M)
A = a² + 2a * WURZEL((h(P))² + (a/2)²)
Nun rechnet es sich mit zwei Variablen schlecht, also versucht man eine durch die andere zu ersetzen.
Und dafür bietet sich die Volumenformel an. Man stellt diese einfach nach h um, und setzt h in die
Formel für den Oberflächeninhalt ein:
V = 1/3*a²*h
h = 3*V/a²
V ist vorgegeben mit 100cm³, also setzt man ein:
h = 300/a²
A(G) = a² + 2a * WURZEL((300/a²)² + (a/2)²)
A(G) = a² + 2a * WURZEL(90000/a^4 + a²/4)
Auch A(G) ist vorgegeben mit 200 cm².
200 = a² + 2a * WURZEL(90000/a^4 + a²/4)
Tja, und das gilt es nun nach a aufzulösen
200 - a² = 2a * WURZEL(90000/a^4 + a²/4)
(200 - a²)/2a = WURZEL(90000/a^4 + a²/4)
(100/a - a/2)² = 90000/a^4 + a²/4
10000/a² - 2*100/a*a/2 + a²/4 = 90000/a^4 + a²/4
10000/a² - 100 = 90000/a^4
10000a² - 100a^4 = 90000
100a² - a^4 = 900
0 = a^4 - 100a² + 900
Man erhält also eine biquadratische Gleichung.
Solche löst man am besten auf folgende Art:
Substituieren:
a² = t
0 = t² - 100t + 900
t = 50 +/- WURZEL(50² - 900)
t1 = 50 + 40 = 90
t2 = 50 - 40 = 10
Zurück substituieren:
t = a²
t1 = 90
a1 = WURZEL(90) = 9,487
a2 = -WURZEL(90) = -9,487
t2 = 10
a3 = WURZEL(10) = 3,162
a3 = -WURZEL(10) = -3,162
Die Lösungen a2 und a4 machen keinen Sinn, da es keine negativen Längen gibt.
Die Lösungen a1 und a3 dagegen erscheinen realistisch.
Man überprüft die Ergebnisse:
a1 = WURZEL(90)
h(P) = 300/a² = 300/90 = 10/3
V = 1/3*h(P)*a² = 1/3*10/3*10 = 100 => stimmt mit der Vorgabe
(h(a))² = (h(P))² + (a/2)²
h(a) = WURZEL((10/3)² + 22,5)
h(a) = 5,798
A(D) = a/2 * h(a) = 27,5
A(G) = a² = 90
A = 4*A(D) + A(G)
A = 4*27,5 + 90
A = 200 => stimmt auch mit der Vorgabe überein.
a1 = 9,487 cm ist also eine Lösung der Aufgabe
a3 = WURZEL(10)
h(P) = 300/a² = 300/10 = 30
V = 1/3*h(P)*a² = 1/3*30*10 = 100 => stimmt mit der Vorgabe
(h(a))² = (h(P))² + (a/2)²
h(a) = WURZEL(30² + 2,5)
h(a) = 30,04
A(D) = a/2 * h(a) = 47,5
A(G) = a² = 10
A = 4*A(D) + A(G)
A = 4*47,5 + 10
A = 200 => stimmt auch mit der Vorgabe überein.
a3 = 3,162 cm ist also eine Lösung der Aufgabe
Es gibt also zwei Lösungen für die Aufgabe:
Die Seitenlänge der Grundfläche kann also 9,487 cm oder 3,162 cm betragen
So, ich hoffe mal inständig, dass alle verständlich war :-)
Schönen Tag noch
Justin |
starla1
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 18:00: |
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hallo justin. danke für das lösen dieser hausaufgabe hast mir sehr geholfen danke danke danke.... |
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