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anke
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 14:38: | 
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Gegeben ist die Folge an mit an= (2n²-1)/ n²
Bestimme den Grenzwert und beweise die Konvergenz!
Kann mir jemand ganz genau erklären, wie man so einen Beweis führt- mit allem, was dazu gehört (sprich Epsilon, usw.). Danke schon mal! |
anke
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 14:28: |
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würde mich freuen, wenn mir irgendwer beim Konvergenzbeweise (habe ich im Titel leider verschrieben!) helfen könnte! |
J
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 18:22: |
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Wenn du schon weisst, welche zahl der grenzwert ist, kannst du dies beweisen. Um eine vermutung bezüglich des grenzwetes aufzustellen, genügt es, die folgenglieder für große n zu bestimmen. du kommst leicht zu der vermutung, dass dein grenzwert 2 ist.
Damit kannst du beweisen, dass der limes deiner folge 2 ist.
Ich schreibe e statt epsilon, weil sich das leichter tippen lässt.
Zu zeigen ist: Für alle e grösser 0 gibt es ein N so dass für alle n > N gilt:
|(2n²-1)/n² - 2| <e
<=> |(2n²-1)/n2 -2n²/n²| < e
<=> |-1/n²| < e
<=>1/n² < e
<=> n² > 1/e
<=> n > wurzel aus (1/e)
ich setze: N =[wurzel aus(1/e)]
(dabei bedeutet das symbol [x] die größte ganze zahl, die kleiner oder gleich x ist.)
Jezt gilt, dass für alle n, die größer als N sind, die ungleichung n> wurzel aus (1/e) erfüllt ist. Was zu beweisen war.
Gruß J |
Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 18:30: |
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Also erst mal bestimmt man den Grenzwert, in diesem Falle 2. Setze z.B. einige große Zahlen ein, oder überlege dir, dass die "-1" im Zähler vernachlässigbar ist, wenn n gegen unendlich läuft. Dann steht im Zähler das Doppelte des Nenners.
Jetzt ist zu zeigen, dass es zu jedem noch so kleinen Epsilon eine Zahl (Nummer) gibt, ab der alle Folgenglieder um weniger als Epsilon vom Grenzwert abweichen.
Ich schreibe ABS( ) für Betragsstriche und € für Epsilon
Zu zeigen ist: es gibt zu jedem Epsilon eine Zahl n0, so dass
ABS(an-2)< €
also:
ABS([(2n²-1)/ n²]-2)<€
Jetzt müsste man eine Fallunterscheidung machen, um den Betrag aufzulösen. Diese entfällt bei deinem an, da an<2 für alle n aus IN, also ist [(2n²-1)/ n²]-2 immer kleiner Null, damit der Betrag die Gegenzahl [-(2n²-1)/ n²]+2
-(2n²-1)/ n² + 2 <€
-(2n²-1)/ n²< €-2
-2n²+1<(€-2)n²
-2n²-(€-2)n²+1<0
n²(-2-€-(-2))+1<0
-n²€<-1
-n²<-1/€
n²>1/€
n>SQRT(1/€)
Das heißt nun: Zu jedem beliebigen Epsilon findet sich eine Nummer, ab der die Ungleichung gilt.
Beispiel: Nehmen wir als € =10^(-6)=0,000001
Für alle n>SQRT(1/10^(-6))=10^3, also ab dem 1001. Folgenglied liegen alle weiteren Folgenglieder in dem Streifen zwischen 2+€ und 2-€. Für die ersten 1000 Glieder gilt das nicht, ist für die Konvergenz aber ohne Belang.
Was wir gezeigt haben, ist, dass wir wirklich zu jedem beliebig kleinem € eine solche Nummer finden, ab der alle Folgenglieder in diesem Streifen liegen.
Damit haben wir gezeigt: Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 2.
Gruß
Peter |
Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 18:36: |
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Jaja, die Aktualisierungen.
J's Ungleihungsumformung ist zweifellos eleganter als meine.
Peter |
anke
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 09:37: |
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Danke für eure Hilfe! Eine Frage habe ich aber noch:
Wieso wird aus
|(2n²-1)/n² - 2| <e
|(2n²-1)/n2 -2n²/n²| < e ?
Danke schon mal! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 10:53: |
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Sollte wohl heißen |(2n²-1)/n² - 2n²/n²|
Beachte: 2n²/n² = 2. |
anke
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 12:00: |
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Ja, aber wie kommt man von
|(2n²-1)/n² - 2|
auf
|(2n²-1)/n2 -2n²/n²|
In wiefern wird das erweitert?? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 22:17: |
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Das war nur ein TIPPFEHLER! Die 2 soll im Exponenten stehen. |
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