| Autor |
Beitrag |
    
Manu
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 19:53: | 
|
Hallo
Gegeben ist: a = 40 cm, h = 50 cm (von der Pyradmide)
Gesucht: 1. Vmax des Zylinders 2.V des Zylinders wenn der durchmesser die Hälte von der höhe 50 cm ist.
Formeln:
Zylinder:
A = phi * r²
V = A * h
Pyramide:
a² * h
-------
3
Lösung: ??? |
Michael
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 23:06: |
|
Pyramide: Höhe H=50 cm, Grundseite A=40 cm
Zylinder: Höhe h=?, Radius r=?
1.)In einer Seitenansicht siehst Du, daß h und r in einem festen Verhältnis stehen, das durch die Pyramide vorgegeben ist. Strahlensatz: A/(2H)=(A/2-r)/h ==>h=H-(2*r*H/A)
Volumen Zylinder: V=1/3*pi*r²*h
V(r)=1/3*pi*r²*(H-(2*r*H/A))
Ausmultiplizieren, ableiten und gleich 0 setzen!
2.)r=12,5 cm in Formel einsetzen!
Versuch mal, ob Du so klar kommst! |
Manu
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 12:53: |
|
. 40 cm² 40 cm²
. -------- = ------- ==> h = H-(2r*50cm/40)
. 2 * 50cm 2-r
. -------
. h
.
.
.<==> V=1/3 phi r² h
.
.<==> V(r)=1/3 phi r² (H-(2rH/A))
.
.<==> V(r)=1/3 phi r² (50cm-(2r*50cm/40)
.
.<==> V(r)=1/3 phi r² (50cm-(2r*50cm/40)
.
.<==> V(r)=1/3 phi 10²cm (50cm-(2*10*50cm/40cm)
.
.<==> V(r)=1/3 phi 10²cm (50cm-(25cm))
.
.<==> V(r)=1/3 phi 10²cm (50cm – 25cm)
.
.<==> V(r)=1/3 phi 10²cm (25cm)
.
.<==> V(r)=1/3 phi 100cm (25cm)
komme nicht mehr weiter und jetzt? was mache ich falsch? *verzweifel*
PS: die punkte hab ich gemacht in der hoffnung das sich die zeilen nicht verschieben, würde mich auch freuen wenn mit jemand eine word datei schicken könnte mit der lösung.
danke im vorraus |
Justin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 17:20: |
|
Hallo Manu,
Michael hat doch geschrieben: Ausmultiplizieren, Ableiten und gleich 0 setzen.
Er hat allerdings auch mit seiner Schreibweise A für die Grundseite nicht gerade für Verständlichkeit gesorgt, da A schließlich das Formelzeichen für eine Fläche ist.
Was Du gemacht hast, Manu, war ein schlichtes Einsetzen der Werte. Du hast die Formel nicht ausmultipliziert und abgeleitet.
Ausmultiplizieren:
V(r)= 1/3 pi r² (H - 2rH/a)
V(r)= 1/3 pi r² H - 1/3 pi r² 2rH/a
V(r)= 1/3 pi r² H - 2/3 pi r³ H/a
Ableiten:
V'(r) = 2*1/3 pi r H - 3*2/3 pi r² H/a
V'(r) = 2/3 pi H r - 2 pi H/a r²
Gleich NULL setzen und jetzt kann man auch die Werte einsetzen :-)
0 = 2/3 pi r H - 2 pi r² H/a
0 = 2/3 pi r 50 - 2 pi r² 50/40
0 = 100/3*pi*r - 2,5*pi*r² | durch (-2,5*pi) dividieren
0 = r² - 40/3r
r=0 als Lösung scheidet aus, also durch r divieren
0 = r - 40/3
r = 40/3 = 13,333
Diesen erhaltenen Radius setzt man nun in die Volumenformel ein.
V = 1/3 pi * (40/3)² * (50 - 2 * 40/3 * 50/40)
V = 1600/27 * pi * (50 - 100/3)
V = 3102,81
Also hat der größtmögliche Zylinder ein Volumen von 3102,81 cm³, einen Radius von 13,33 cm und demzufolge eine Höhe von 16,67 cm.
So, und die zweite Aufgabe wirst Du jetzt sicher spielend leicht schaffen :-)
Schönen Tag noch
Justin
P.S.:
Außerdem heißt die Verhältniszahl von Kreisumfang und Durchmesser PI und nicht PHI. Das Phi ist zwar auch ein griechischer Buchstabe - und zwar der viertletzte im Alphabet -, der wird aber entweder zur Bezeichnung von Winkeln verwendet oder aber dient in der Physik als Formelzeichen für den magnetischen Fluss. |
Manu
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 23:18: |
|
Hallo an alle nette Mathematiker/inen die mir geholfen haben :-)
Danke ich habe es soweit verstanden aber ich habe noch eine abschließende Frage. Wie kommen Michael und Justin auf 1/3 pi r² (H - 2rH/a) ?
Die Formel pi * r² * h = Zylinder Volumen
Die Formel 1/3 * a² * h = Pyramide Volumen
aber 1/3 pi r² (H - 2rH/a) ?
Danke wiedermal im Voraus |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 23:51: |
|
Hallo Manu!
So spät noch bei Mathe! Ich habe mir eben das ganze Posting durchgesehen und die Aufgabe auch nicht gerechnet, doch deine Frage lässt sich aus dem Stegreif beantworten. Michael hat dir in seinem Beitrag unter Punkt 1. erklärt, wie man die Nebenbedingung findet. Mit Hilfe des Strahlensatzes formuliert er eine Nebenbedingung, setzt diese dann in die Ausgangsfunktion ein, um so eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Variablen abhängig ist und sich differenzieren lässt. Schau doch noch mal nach.
Gruß
Martin |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 00:02: |
|
Nun habe ich nochmal nachgesehen. Michael, warum hast du den Faktor 1/3 in der Volumenformel des Zylinders? Was du beschreibst ist ein Kegel ,wenn ich mich nicht irre. Sollte ich mich täuschen, antworte bitte.
MfG
Martin |
Manu
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 11:50: |
|
Ja eben Martin.. dem zufolge müsste doch auch die Ableitung und so doch anderst sein wegen dem Strahlensatz?? Ich weiß das für Zylinder die Formel: pi * r² * h gilt wenn ich das Volumen errechnen möchte. Das würde dann heißen das der Zylinder nur zu einem drittel (1/3) aus dem normal Volumen bestehen würde?
Manu |
|
