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Bizzel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 00:07: | 
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Hallo,
Zu widerlegen oder zu beweisen ist die Behauptung, dass für Primzahlen p und natürliche Zahlen n gilt:
np-n ist teilbar durch p
Falls diese Behauptung gilt:
Könnte man hier einen Zusammenhang zu meiner Frage auf
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/21111.html
herstellen, der bei der Beantwortung der Frage brauchbar ist?
Übrigens ist es nicht dringend. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 16:31: |
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Hi,
Die Beweis der Behauptung ergibt sich leicht
aus dem (kleinen) Satz von Fermat, den wir als
bekannt voraussetzen.
Er lautet:
Wenn a und m teilerfremde natürliche Zahlen sind,
so ist die Potnz a ^ phi (m) kongruent 1 modulo m,
d.h.
[a ^ phi (m) - 1] ist durch m teilbar.
Dabei stellt phi(m) die bekannte zahlentheoretische Funktion
dar, welche die Anzahl der zu m teilerfremden
Restklassen modulo m angibt
Beispiel:
m = 18 ;
vollständiges Restsystem: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
reduziertes System:1,5,7,11,13,17 , also phi(18) = 6.
Ist m eine Primzahl p, so gilt bekanntlich:
phi(p) = p-1.und der kleine Satz von Fermat besagt:
a ^ (p-1) kongruent 1 modulo p,
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
gültig für alle a ,welche nicht kongruent null modulo p sind.
Multiplizieren wir beide Seiten dieser Kongruenz mit a,
so erhalten wir gerade die zu beweisende Aussage
in Deiner Anfrage.
Nochmals:
Behauptung: a ^ p ist kongruent a modulo der Primzahl p ,
mit anderen Worten:
a ^ p - a ist durch p teilbar:
Bew.:
(1) Sind a und p teilerfremd, dann gilt nach Fermat
für p als Primzahl:
a^ (p-1) kongruent 1 modulo p,
also a ^ p kongruent a modulo p , wie behauptet.
(2 ) Sind a und p nicht teilerfremd, ist also a ein Vielfaches von p,
so ist die Behauptung trivialerweise richtig.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Bizzel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 17:01: |
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Hallo H.R.Moser,megamath., vielen Dank für die Mühe damit, aber ich habe leider gemerkt, dass ich nicht folgen kann.
Ich kenne weder die zahlentheoretische Funktion phi(m), noch weiß ich, was Restklassen sind, bzw. wie man auf die "Anzahl der zu m teilerfremden Restklassen" kommt.
Wie man vom Restsystem auf ein reduziertes System kommt, weiß ich auch nicht.
Wenn es ohne diese Begriffe nicht geht, werde ich erstmal etwas Zeit brauchen, bis ich damit umgehen kann.
Wenn es natürlich auch mit ähnlichen Mitteln zu beantworten wäre wie meine Frage auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/21112.html
also wo z.B. Begriffe verwendet werden, die vom Anspruch her mit dem binomischen Satz vergleichbar sind, dann könnte ich es vielleicht verstehen.
Zum "(kleinen) Satz von Fermat":
Ich habe in dieser Rubrik weiter unten den Beitrag
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/2030.html , "Satz von Fermat" gefunden,
worin genau meine Behauptung "p | n^p -n" darunter verstanden werden kann.
Ich denke, es müsste einen Link geben, wo man den Beweis dafür nachlesen kann?
Vielen Dank nochmals |
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