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Beitrag |
    
Bizzel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 00:05: | 
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Hallo,
Wie beweist oder widerlegt man die Behauptung:
Für ungerade Zahlen k>2 ist nk-n für alle natürlichen Zahlen n durch 6 teilbar.
(Anm.: Für spezielle Werte k= 3, 5, 7, 9 und 11 ist mir klar,
wie man die Teilbarkeit nachprüft; ist es auch leicht möglich,
dies für alle ungeraden Exponenten k allgemein zu beweisen?)
Noch was: Es ist nicht dringend. |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 20:15: |
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n^k-n=n*(n^(k-1)-1) da k ungerade ist, ist k-1 gerade, d.h. es existiert eine natürliche Zahl l mit k-1=2l,
d.h n^k-n=n*(n^2l-1)
=3.binomische Formel n*(n^l-1)*(n^l+1)
vielleicht kommt man hiermit weiter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 20:59: |
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Hi Bizzel,
z = n ^ k - n ist für alle natürlichen Zahlen n und ungerade k
durch 6 teilbar.
Um dies einzusehen, setzen wir k = 2 * m + 1
(m ist eine beliebige natürliche Zahl)
und. formen um:
z = n * [n ^ ( k -1 ) - 1] = n * [ n ^ ( 2 m ) -1 ] ,also:
z = n * ( n ^ m - 1 ) * ( n ^ m + 1 )............................(I)
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Wir gehen auf die Suche nach Teilern 2 und 3 von z.
A} Teiler 2
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a) Für ein gerades n ist der erste Faktor , eben n , gerade;
daher ist z durch 2 teilbar.
b) Für ein ungerades n sind der zweite Faktor n^m -1 und der
dritte Faktor n ^ m + 1 je gerade ,mithin ist auch jetzt z durch
2 teilbar.
B] Teiler 3
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a) Ist n durch 3 teilbar, so ist damit auch z durch drei teilbar.
b) Hat n die Form 3 t + 1 ,so ist der zweite Faktor durch drei
teilbar ,weil im Term
[(3 t + 1 ) ^ m - 1]
bei der Entwicklung nach dem binomischen Satz die 1
sich weghebt und nur Summanden mit dem Faktor 3
übrig bleiben.
c) Für n = 3 t - 1 ist der zweite oder dritte Faktor
durch 3 teilbar , je nachdem m gerade oder ungerade ist.
In allen Fällen ist mindestens einer der Faktoren
und damit z selbst durch drei teilbar.
Summa: z ist durch 2*3 = 6 teilbar
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Bizzel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 16:56: |
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Hallo H.R.Moser,megamath., vielen Dank für diese vorbildliche und ausführliche Erklärung des Beweises.
Auch an Armin Heise vielen Dank für den Hinweis. |
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