| Autor |
Beitrag |
    
r3d4
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 15:27: | 
|
Hi!
Wir gehen von b(n) = 1/(n-1)n = (1/n-1) - (1/n) und von a(n) = 1/n^2 aus.
Wie sehen die Reihen der beiden Folgen aus, divergent oder konvergent?
Ich habe bei beiden Reihen eine Divergenz heraus.
Weil bei a(n) gilt ( als Reihe):
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49 + 1/64 usw.
Wenn wir von 1+1/4 ausgehen, dann kommen eigentlich immer unendlich viele 1/16 dazu.
Weil 1/9 + 1/16 > 1/16,
1/25 + 1/36 + 1/49 + 1/64 > 1/16
dann sind die nächsten 16 Zahlen auch über 1/16 usw. Wir müssten also eine Reihe von 1+1/4+1/16+1/16 usw... haben
Obwohl...*argh* im Nachhinhein fällt mir auf, dass sie doch konvergent ist!
Weil ( zweiter Versuch):
1 + (1/4) + (1/9 + 1/16) + (1/25 + 1/36 + 1/49 + 1/64)
In der ersten Klammer haben wir einen Wert von 1/4, in der zweiten einen Wert von über 1/8 (weil: 2*1/16), in der dritten einen von über 1/16 (weil: 4*1/64) usw...
Also haben wir 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/(n*2)
Im besten Falle(n=1) haben wir also eine Reihe von:
1 + 1/2
Also müsste die Grenze für die Reihe von s(n) bei 1,5 liegen, oder?
Bei der Reihe von b(n) = 1/(n-1)*n = 1/(n^2)-n
haben wir:
1/2 + (1/6 + 1/12) + (1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56) + (1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132 + 1/156 + 1/182 + 1/210 + 1/240) usw...
In der ersten Klammer haben wir einen Wert größer als 1/6 (weil 2*1/12 = 1/6), in der zweiten einen Wert größer als 1/14 ( weil 4*1/56 = 1/14) usw.
Das interessante ist, dass man von 1/2 ausgehend also so vorgehen kann wenn man jede Klammer aufsteigend nummeriert, also x) :
(1/2) + (1/(2*2)+2) + (1/((2*2)+2)*2)+2) + 1/((2^x)*2)-2
Wir hätten also auch hier im Idealfall (x=1) 1/2 + 1/2!
Liegt also die Grenze hier bei 1?
Zusammenfassend:
Grenze der Reihe s(n) bei 1,5; bei der Reihe b(n) bei 1.
Ist das richtig so?
Übrigens stammen die wirren Gedanken von einem wirklichen 11.Klässler; übrigens, ich bin nicht verrückt! *ggg*
Danke im voraus! |
r3d4
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 16:22: |
|
Ich muss nochmal eine Frage hinterherschieben.
Bei den Folgen b(n) = 1/(n-1)n = (1/n-1) - (1/n) und a(n) = 1/n^2, wie sieht's da mit der Summenformel aus?
Gibt's eine, wenn ja, wo liegt diese und wie kommt man darauf?
Nochmal danke! |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 16:46: |
|
Hi r3d4,
Wir betrachten die unendliche Reihe der reziproken Quadratzahlen.
Du argumentierst so:
1 + (1/4) + (1/9 + 1/16) + (1/25 + 1/36 + 1/49 + 1/64)
In der ersten Klammer haben wir einen Wert von 1/4, in der zweiten einen Wert von über 1/8 (weil: 2*1/16), in der dritten einen von über 1/16 (weil: 4*1/64) usw...
Es ist also 1/16 + 1/9 = 1/(2²)² + 1/(2²-1)² > 1/8,
ebenso 1/64 + 1/49 + 1/36 + 1/25 = 1/(2³)² + 1/(2³-1)² + 1/(2³-2)² + 1/(2³-3)² > 1/16
Die nächsten acht Glieder sind wieder größer 1/32, da
alle >= 1/256 sind. Dieses von dir angeführte Argument ist also
stichhaltig; es lässt sich sagen:
S4 k=3 1/k² > 1/8
S8 k=5 1/k² > 1/16
S16 k=9 1/k² > 1/32
...
S2^(n+1)) k=2^n+1 1/k² > 1/2^(n+2)
Also ist Sinf k=1 > 5/4 + Sinf k=1 1/(2^n*2²) = 5/4 + 1/4 * 1 = 3/2
Deine Abschätzung zeigt also, dass Sinf k=1 k² > 3/2 ist.
Sonst sehe ich darin aber momentan nix.
Nach unten abschätzen nutzt in dem Fall leider wenig, da ich auf
diese Art auch etwa leicht zeigen könnte, dass Sinf k=1 k > 5 ist,
was aber wenig zur Sache tut, dass die harmonische Reihe bekannter-
maßen divergent ist.
Dass die von dir angegebene Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen
tatsächlich konvergiert gegen den berühmten Wert pi²/6, konnte Euler zeigen.
Die Beweise dazu sind allerdings recht nicht-elementar, wie ich meine.
Vielleicht kennt jemand hier auch einen einfachen, sprich: elementaren.
Grüße, Xell |
|
