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Tristano (Tristano)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 11:17: | 
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Hallo, wer kann mir diese Aufgabe komplett lösen?
1²+2²+3³+...+n² =n(n+1)(2n+1) /6
Danke. |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 12:34: |
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Induktionsschluss:
Annahme: für ein n gelte
Sn i=1i2=n*(n+1)*(2*n+1)/6
Dann gilt:
Sn+1 i=1i2=Sn i=1i2+(n+1)2=n*(n+1)*(2*n+1)/6+(n+1)2= (n+1)*(n*(2*n+1)/6+(n+1))=(n+1)*((2*n2+n)/6+6*(n+1)/6)= (n+1)*(2*n2+7*n+6)/6=(n+1)/6*(2*n2+7*n+6)= (n+1)/6*(2*n+3)*(n+2)=(n+1)*((n+1)+1)+(2*(n+1)+1)/6
Wenn dir der rote Schritt unklar ist, so gehe ihn rückwärts: multipliziere (2*n+3)*(n+2) aus und (2*n2+7*n+6) kommt raus.
Setzt man für n+1=x so erhält man: (n+1)*((n+1)+1)+(2*(n+1)+1)/6=x*(x+1)+(2*x+1)/6
Das ist genau obiger Term nur mit x statt n
Induktionsanfang:
S1 i=1i2=12=1=6/6=1*2*3/6=1*(1+1)*(2*1+1)/6
q.e.d. |
Tristano (Tristano)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 15:05: |
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Danke für die Lösung.
Mir ist jedoch unklar, wie die Potenz vor der ersten Doppelklammer verschwindet. Aus (n+1)² wird (n+1)).
Kannst du mit das erklären? |
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