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Beweis?? (dringend!!!)

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Hannes
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 18:41:   Beitrag drucken

Es ist der Satz von Pappus zu Beweisen:

http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder/Gdg/Gdg16-11/Bild2.gif

Es gilt zu beweisen dass die 3 Schnittpunkte (AB' x A'B, AC' x A'C, BC' x B'C) in einer Geraden liegen!
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 15:08:   Beitrag drucken

Hi Hannes,

Vorerst ein Klärung bezüglich der Bezeichnung
"Satz von Pappus oder Pappos"
Nach dem Namen dieses griechischen Mathematikers,
Astronomen und Geographen, der um 320 n.Chr.
in Alexandria lebte, sind zwei verschiedene Sätze
der Planimetrie benannt.

1.
Der Satz über die Invarianz des Doppelverhältnisses
von vier Punkten bei Zentralprojektion.
Werden vier von einem Punkt O ausgehende Strahlen
von zwei Geraden in den Punkten A,B,C,D und
A',B',C',D' geschnitten, so stimmen die Doppelverhältnisse
überein; es gilt: ( A B C D ) = ( A' B' C' D' )

2.
Der von Dir zitierte und zu beweisende Satz ist ein
Spezialfall des bekannten Satzes von Pascal,
bei welchem sechs gegebene Punkte auf einem beliebigen
Kegelschnitte liegen,
Im vorliegenden Fall ist der Kegelschnitt in das Geradenpaar
ausgeartet, auf denen je die Punkte A,B,C und A',B',C'
liegen.
Die drei Schnittpunkte, von denen im Satz die Rede ist,
liegen auf der sogenannten Pascalgeraden.

Daher wird der entsprechende Satz oft auch mit dem
Doppelnamen Pappus - Pascal bezeichnet

Ein schöner Beweis auf rein geometrischer und axiomatischer
Grundlage stammt von David Hilbert.
Er ist zu finden in dem Buch aus dem Teubner-Verlag,
Stuttgart 1977:
D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Teubner Studienbücher

Im folgenden zeige ich einen analytischen Beweis, der auch ganz
interessant ist.

Wir wählen die beiden Geraden, auf denen die Punktetripel
liegen, als Achsen eines schiefen Koordinatensystems
und zwar sei die Achse mit den Punkten A', B', C ' die x-Achse,
diejenige mit den Punkten A, B, C die y-Achse.
Achtung:
Für die Punkte auf der x-Achse geben wir die
REZIPROKWERTE
der Abszissen der Punkte A', B' ,C' ,nämlich : 1 / xA ' = a , 1 / xB ' = b , 1 / xC ' = c
Analoges gilt für die Ordinaten der Punkte A,B,C
auf der y-Achse:
1/ yA = p , 1/ yB = q , 1/ yC = r.
Mit dieser Festlegung werden die Gleichungen der
Verbindungsgeraden besonders einfach:

Gerade AB': Gleichung bx + py = 1
Gerade A'B: Gleichung ax + qy = 1
Schnittpunkt U beider:
xU = (q - p) / D1 mit D1 = bq - ap
yU = (b - a) / D1

Gerade AC ' : cx + py = 1
Gerade A'C : ax + ry = 1
Schnittpunkt V:
xV = (r-p) / D2 mit D2 = cr -ap
yV = (c-a) / D2

Gerade BC ' :cx + qy = 1
Gerade B'C : bx + ry = 1
Schnittpunkt W
xW= (r-q) / D3 mit D3 = cr - bq
yW= (c-b) / D3 .

In einer Fortsetzung zeigen wir, dass die drei Punkte U,V,W
auf einer Geraden g , der Pascalgeraden , liegen

Bis dann !

Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Xell
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 17:52:   Beitrag drucken

Hi H.R.Moser!

Kläre mich bitte über das Folgende auf:
Ist das "ß" an deiner Tastatur kaputt?
(Da du ständig "ss" anstatt "ß" setzt)

lg
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Ruße
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 18:09:   Beitrag drucken

In der Schweiz gibt es kein "ß"
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 18:17:   Beitrag drucken

Hi Hannes,

Wir fassen nun das Punktepaar U V ins Auge und bilden
mit den Koordinaten der Punkte den Differenzenquotient
m1 = (yV - yU) / ( xV - xU )
Es entsteht zunächst ein Doppelbruch , den wir umgehend
in einen einfachen Bruch verwandeln ; dieser hat die Gestalt
m1 = Z1 / N1: mit

Z1 = ( c - a ) * ( bq - ap ) - ( b - a ) * ( cr - ap )
N1 = ( r - p ) * ( bq - a p ) - ( q - p ) * ( cr - ap )

Wir lösen die Klammern und fassen neu zusammen
Ergebnis:
Z1 = b c * ( q - r ) + c a * ( r - p ) + a b * ( p - q )
N1:= r q * ( b - c ) + p r * ( c - a ) + p q * ( a - b )

Wenn man diese Terme näher untersucht , so sieht man:
beide Terme sind invariant bezüglich einer doppelten
zyklischen Vertauschung
a geht in b , b in c , c in a über.
simultan geht dabei p in q , q in r und r in p über.

Nun berechnen wir die übrigen Differenzenquotienten
m2 = (yW - yV) / (xW -xV) und
m3 = (yU - yW) / (xU - xW)
und zwar aus m 1 durch zyklische Vertauschung.
Da der entsprechende Ausdruck gegenüber einer solchen
Vertauschung invariant ist, gilt:
m1 = m2 = m3, und dies bedeutet, dass die drei Punkte
U,V,W auf einer Geraden g liegen.
Ende des Beweises.


Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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