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Hannes
| Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 18:41: |
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Es ist der Satz von Pappus zu Beweisen: http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder/Gdg/Gdg16-11/Bild2.gif Es gilt zu beweisen dass die 3 Schnittpunkte (AB' x A'B, AC' x A'C, BC' x B'C) in einer Geraden liegen! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 15:08: |
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Hi Hannes, Vorerst ein Klärung bezüglich der Bezeichnung "Satz von Pappus oder Pappos" Nach dem Namen dieses griechischen Mathematikers, Astronomen und Geographen, der um 320 n.Chr. in Alexandria lebte, sind zwei verschiedene Sätze der Planimetrie benannt. 1. Der Satz über die Invarianz des Doppelverhältnisses von vier Punkten bei Zentralprojektion. Werden vier von einem Punkt O ausgehende Strahlen von zwei Geraden in den Punkten A,B,C,D und A',B',C',D' geschnitten, so stimmen die Doppelverhältnisse überein; es gilt: ( A B C D ) = ( A' B' C' D' ) 2. Der von Dir zitierte und zu beweisende Satz ist ein Spezialfall des bekannten Satzes von Pascal, bei welchem sechs gegebene Punkte auf einem beliebigen Kegelschnitte liegen, Im vorliegenden Fall ist der Kegelschnitt in das Geradenpaar ausgeartet, auf denen je die Punkte A,B,C und A',B',C' liegen. Die drei Schnittpunkte, von denen im Satz die Rede ist, liegen auf der sogenannten Pascalgeraden. Daher wird der entsprechende Satz oft auch mit dem Doppelnamen Pappus - Pascal bezeichnet Ein schöner Beweis auf rein geometrischer und axiomatischer Grundlage stammt von David Hilbert. Er ist zu finden in dem Buch aus dem Teubner-Verlag, Stuttgart 1977: D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Teubner Studienbücher Im folgenden zeige ich einen analytischen Beweis, der auch ganz interessant ist. Wir wählen die beiden Geraden, auf denen die Punktetripel liegen, als Achsen eines schiefen Koordinatensystems und zwar sei die Achse mit den Punkten A', B', C ' die x-Achse, diejenige mit den Punkten A, B, C die y-Achse. Achtung: Für die Punkte auf der x-Achse geben wir die REZIPROKWERTE der Abszissen der Punkte A', B' ,C' ,nämlich : 1 / xA ' = a , 1 / xB ' = b , 1 / xC ' = c Analoges gilt für die Ordinaten der Punkte A,B,C auf der y-Achse: 1/ yA = p , 1/ yB = q , 1/ yC = r. Mit dieser Festlegung werden die Gleichungen der Verbindungsgeraden besonders einfach: Gerade AB': Gleichung bx + py = 1 Gerade A'B: Gleichung ax + qy = 1 Schnittpunkt U beider: xU = (q - p) / D1 mit D1 = bq - ap yU = (b - a) / D1 Gerade AC ' : cx + py = 1 Gerade A'C : ax + ry = 1 Schnittpunkt V: xV = (r-p) / D2 mit D2 = cr -ap yV = (c-a) / D2 Gerade BC ' :cx + qy = 1 Gerade B'C : bx + ry = 1 Schnittpunkt W xW= (r-q) / D3 mit D3 = cr - bq yW= (c-b) / D3 . In einer Fortsetzung zeigen wir, dass die drei Punkte U,V,W auf einer Geraden g , der Pascalgeraden , liegen Bis dann ! Gruss H.R.Moser,megamath. |
Xell
| Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 17:52: |
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Hi H.R.Moser! Kläre mich bitte über das Folgende auf: Ist das "ß" an deiner Tastatur kaputt? (Da du ständig "ss" anstatt "ß" setzt) lg |
Ruße
| Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 18:09: |
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In der Schweiz gibt es kein "ß" |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 18:17: |
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Hi Hannes, Wir fassen nun das Punktepaar U V ins Auge und bilden mit den Koordinaten der Punkte den Differenzenquotient m1 = (yV - yU) / ( xV - xU ) Es entsteht zunächst ein Doppelbruch , den wir umgehend in einen einfachen Bruch verwandeln ; dieser hat die Gestalt m1 = Z1 / N1: mit Z1 = ( c - a ) * ( bq - ap ) - ( b - a ) * ( cr - ap ) N1 = ( r - p ) * ( bq - a p ) - ( q - p ) * ( cr - ap ) Wir lösen die Klammern und fassen neu zusammen Ergebnis: Z1 = b c * ( q - r ) + c a * ( r - p ) + a b * ( p - q ) N1:= r q * ( b - c ) + p r * ( c - a ) + p q * ( a - b ) Wenn man diese Terme näher untersucht , so sieht man: beide Terme sind invariant bezüglich einer doppelten zyklischen Vertauschung a geht in b , b in c , c in a über. simultan geht dabei p in q , q in r und r in p über. Nun berechnen wir die übrigen Differenzenquotienten m2 = (yW - yV) / (xW -xV) und m3 = (yU - yW) / (xU - xW) und zwar aus m 1 durch zyklische Vertauschung. Da der entsprechende Ausdruck gegenüber einer solchen Vertauschung invariant ist, gilt: m1 = m2 = m3, und dies bedeutet, dass die drei Punkte U,V,W auf einer Geraden g liegen. Ende des Beweises. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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