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Gleichschenkliges Dreieck im Einheits...

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Stefanie
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 11:10:   Beitrag drucken

Größtmöglichste Fläche eines gleichschen. Dreicks im Einheitskreis (r= 1)
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J
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 16:32:   Beitrag drucken

Hi stefanie,

Zeichne zunächst einen Einheitskreis ins Koordinatensystem, so dass der Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist!
Der Punkt S(-1/0)sei die Spitze des Gleichschenkligen Dreiecks, und die Basis verklaufe parallel zur y-Achse. Zeichne Also eine beliebige Parallele zur y-Achse; Ihre Schnittpunkte mit dem Kreis Nennst du A(oben) und B(unten), ihren Schnittpunkt mit der x-Achse C.
DAnn ist der Flächeninhalt des Dreiecks gerade SC*CA
Es sei c die x-Koordinate des Punktes C.
Dann gilt: SC = 1+c und CA = Ö(1-c²)

Für den Flächeninhalt des Dreiecks A gilt daher:
A(c) = (1+c)*Ö(1-c²)

Da der Flächeninhalt positivv sein muss gilt: A(c) ist genau dann maximal, wenn (A(c))² maximal ist. Wir quadrieren also:
A²(c)= (1+c)²*(1-c²) = -c4 - 2c³ + 2c + 1
Ableiten ergibt:
A²'(c) = -4c³-6c²+2
Nullstellen davon sind -1 und 1/2
Da für c= -1 der Flächeninhalt 0 ist, kommt nur 1/2 als Lösung in Frage. der Test mit der 2.Ableitung ergibt, dass in der Tat an dieser Stelle ein Maximum vorliegt!

Rechne vorsichtshalber bitte nach!
Gruß J

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