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Sepi
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 13:45: | 
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Hy Genies Hab folgendes Problem bis 1.Mai 20.00Uhr!
Der Punkt P(u/v) liegt auf der Parabell f(x)=2x^2-x^3 zwischen 0 und 2.Die Tangente in P schneidet die y-Achse in S.Für welchen Punkt P liegt S am tiefsten? Wenn es geht sehr ausführlich, bitte!
Danke in Vorraus Sepi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 16:20: |
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Hi Sepi,
Vorbemerkung:
Für die gegebene kubische Funktion gilt offenbar das Intervall
zwischen den Nullstellen x = 0 und x = 2.
Der Punkt auf dem zugehörigen Kurventeil sei P(u/v),wobei
v = 2 u ^ 2 - u ^3 ..............................................................(1)
aus der Kurvengleichung entsteht.
Die Steigung der Tangente m in P erhält man aus der Ableitung
y ' = 4 x - 3 x ^ 2 als
m = 4 u - 3 u ^ 2 ................................................................(2)
Mit der Punkt-Richtungsform erhalten wir die Gleichung der
Tangente t in P:
y - v = m ( x - u)..................................................................(3)
Den Schnittpunkt S von t mit der y-Achse bekommen wir,
indem wir in Gleichung (3) x = 0 setzen.
Wir erhalten als y-Koordinate des Punktes S:
yS = v - m * u und unter Verwendung der Gleichungen (1) und (2):
yS = 2u^2 - u^3 - 4 u^2 + 3 u^3 = 2 * u^3 - 2 * u^2
Diese Funktion leiten wir nach u ab und erhalten:
yS' = 6 u ^ 2 - 4 u
Massgebliche Nullstelle von y S' ist u = 2/3
Die zweite Ableitung yS'' = 12 * u - 4 ist an dieser Stelle positiv,.
also liegt ein Minimum für yS vor.
Der gesuchte Punkt ist P auf der Kurve hat die Koordinaten
xP = 2 / 3 , yP = 8/9 - 8/27 = 16/27.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
sepi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 14:39: |
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Danke! |
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