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Andy Treisch
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 1999 - 22:51: | 
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hallöle !!
ich habe hier die o.g. aufgabe. ich weiß laut meinem Mathebuch, daß arc sin'x= 1/(1-x^2)^(2/3), aber wie komme ich dahin ??? das steht da nämlich nich... :(( |
spockgeiger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 1999 - 21:28: |
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hi
deine formel hast du falsch abgeschrieben, es heisst
arcsin'x=1/wurzel(1-x^2)=1/(1-x^2)^(1/2)
=(1-x^2)^(-1/2)
wenn du die funktion x=g(y)=siny hast, ist dazu y=f(x)=arcsinx die umkehrfunktion, achte auf die vertauschung der variablen, die wird gleich wichtig sein.
Es gibt nun folgenden satz: g'=1/f'
oder in worten ausgedrueckt: die abletung einer umkehrfunktion ist gleich 1 durch die ableitung der eigentlichen funktion.
somit ist hier
f'(x)=1/g'(y)=1/cosy
so weit, so gut, so einfach uist es aber nicht, denn wie ich sagte, musst du auf die variablen achten. diese ableitung ist nun von y statt von x abhaengig, um das zu aendern, muss man versuchen, den term so umzuformen, dass y nur noch in siny vorkommt, dann kann man das durch x ersetzen (nach voraussetzung)
also:
1/cosy = 1/wurzel((cosy)^2) = 1/wurzel(1-(siny)^2) = 1/wurzel(1-x^2)
im ersten schritt hab ich den nenner quadriert und dann davon die wurzel genommen, im zweiten schritt benutzt man, dass (sinx)^2+(cosx)^2=1, und im letzten schritt hab ich dann siny durch x ersetzt
hoffe, konnte dir helfen |
Sascha
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 1999 - 11:18: |
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Hi
Das gleiche nochmal, vielleicht taber ne Spur schöner (ohne Benutzung des
Satzes über die Abl. der Umkehrfkt.).
Ansatz: sin(arcsin(x)) = x
Nun auf beiden Seiten ableiten (nach Kettenregel):
arcsin'(x) * cos(arcsin(x)) = 1
Jetzt für den Cosinus (1-sin^2(x))^1/2 einsetzen und nach dem arcsin auflösen:
arcsin'(x) = 1 / (1-sin^2(arcsin(x)))^0.5
Zusammenfassen:
arcsin'(x) = 1 / (1 - x^2)^0.5
Fertig.
Mit dem gleichen Vorgehen kan man übrigens auch die Ableitungen für den Cosiunus, Tangans, Cotangens und alle hyperbolischen Fkt. (sinh, cosh etc.) bestimmen. |
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