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Andy Treisch
| Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 1999 - 22:51: |
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hallöle !! ich habe hier die o.g. aufgabe. ich weiß laut meinem Mathebuch, daß arc sin'x= 1/(1-x^2)^(2/3), aber wie komme ich dahin ??? das steht da nämlich nich... :(( |
spockgeiger
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 1999 - 21:28: |
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hi deine formel hast du falsch abgeschrieben, es heisst arcsin'x=1/wurzel(1-x^2)=1/(1-x^2)^(1/2) =(1-x^2)^(-1/2) wenn du die funktion x=g(y)=siny hast, ist dazu y=f(x)=arcsinx die umkehrfunktion, achte auf die vertauschung der variablen, die wird gleich wichtig sein. Es gibt nun folgenden satz: g'=1/f' oder in worten ausgedrueckt: die abletung einer umkehrfunktion ist gleich 1 durch die ableitung der eigentlichen funktion. somit ist hier f'(x)=1/g'(y)=1/cosy so weit, so gut, so einfach uist es aber nicht, denn wie ich sagte, musst du auf die variablen achten. diese ableitung ist nun von y statt von x abhaengig, um das zu aendern, muss man versuchen, den term so umzuformen, dass y nur noch in siny vorkommt, dann kann man das durch x ersetzen (nach voraussetzung) also: 1/cosy = 1/wurzel((cosy)^2) = 1/wurzel(1-(siny)^2) = 1/wurzel(1-x^2) im ersten schritt hab ich den nenner quadriert und dann davon die wurzel genommen, im zweiten schritt benutzt man, dass (sinx)^2+(cosx)^2=1, und im letzten schritt hab ich dann siny durch x ersetzt hoffe, konnte dir helfen |
Sascha
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 1999 - 11:18: |
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Hi Das gleiche nochmal, vielleicht taber ne Spur schöner (ohne Benutzung des Satzes über die Abl. der Umkehrfkt.). Ansatz: sin(arcsin(x)) = x Nun auf beiden Seiten ableiten (nach Kettenregel): arcsin'(x) * cos(arcsin(x)) = 1 Jetzt für den Cosinus (1-sin^2(x))^1/2 einsetzen und nach dem arcsin auflösen: arcsin'(x) = 1 / (1-sin^2(arcsin(x)))^0.5 Zusammenfassen: arcsin'(x) = 1 / (1 - x^2)^0.5 Fertig. Mit dem gleichen Vorgehen kan man übrigens auch die Ableitungen für den Cosiunus, Tangans, Cotangens und alle hyperbolischen Fkt. (sinh, cosh etc.) bestimmen. |
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