| Autor |
Beitrag |
    
Tomik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 06:09: | 
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Hallo!
Ich schreibe morgen eine tierisch schwere Klausur, und es wäre echt nett,
wenn mir jemand die 3 Aufgaben vor-rechnen könnte. Ne Erklärung wäre natürlich
auch echt spitze zu den Aufgaben. Aha, was ich noch sagen wollte: Leute - Danke!
Übungsklausur:
1.) gegeben: f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x +5
gesucht: fefinitionsbereich, schnitt mit den achsen, relative extremwerte, wendepunkt,
graph, symmetrieeigenschaften, tangente durch den wendepunkt
2.) Ein Graph berührt bei x=1 die x-Achse und hat bei W(3/-16) einen wendepunkt.
ermitteln sie f(x)= ax^3 + bx^2 + cx +d
3.) Nach dem Abschneiden der quadrate mit der seitenlänge x soll eine offene
schachtel mit maximalem volumen entstehen. wie wählen sie x? ist die hinreichende
bedingung für ein relatives maximum erfüllt?
(Bemerkung: Diese 3. Aufgabe ist sehr sehr schwer! Eine Zeichnung ist auch gegeben.
ein rechteck - 4 quadrate werden an den ecken abgeschnitten. diese quadrate heißen
"x"! Es gibt die seite "a" und die seite "b".)
Vielen Dank euch allen für die großartige Unterstützung für die humanistischen Laien
der Mathematik 
Grüße Tomik kuri@gmx.de |
fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 08:31: |
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Hi Tomik,
na dann wollen wir mal :-)
1)
Definitionsbereich,
hier schliesst man werte fuer x aus, fuer die die funktion nicht definiert ist,d.h. fuer die die funktion kein ergebnis liefern kann. das ist zum beispiel der fall, wenn du brueche hast, in denen der nenner bei bestimmten x zu null werden kann (nulldivision ist in der mathematik nicht erklaert), oder wenn der ausdruck unter einer wurzel fuer bestimmte x negativ wird (nicht loesbar im reellen) oder auch wenn das argument vom ln z.b. negativ wird.
Diese x werden alle vom definitonsbereich ausgeschlossen.
Da du hier aber ein polygon hast ist der definitionsbereich gesamt R, das ist bei polynomen auch immer so!
Schnitt mit den achsen,
d.h.
fuer den schnitt mit der y-achse musst du den wert x=0 in die funktionsgleichung f(x) einsetzen, also f(0) berechnen, du hast dann als schnittpunkt mit der y-achse den punkt (0,f(0)).
fuer den schnitt mit der x-achse musst du alle x berechnen fuer die gilt:
f(x)=0 (nullstellen)
bei deinen polynom hier muesstes du ein x erkennen, man sagt auch durch raten finden.
Schulaufgaben sind eigentlich so gestellt, dass eine nullstelle im umkreis vom ursprung und ganzzahlig ist. durch probieren von -2,-1,0,1,2 oder so findest du schnell heraus, dass hier bei dir gilt:
f(1)=0 -> bei x=1 nullstellen ->schnittpunkt mit der x-achse bei (1/0).
jetzt kannst du dein polynom mit hilfe der polynom division und deiner bereits gefundenen nullstelle zerlegen. hierfuer musst du:
( x^3 + 3x^2 - 9x +5 ) : (x-1) = (x^2 ...)
berechnen!
du erhaelst dann eine quadratische gleichung, die du entweder mit quadratischer ergaenzung oder p-q-formel loesen kannst, du erhaelst dann moeglicherweise noch max zwei nullstellen mehr!
rel.extremwerte:
hierfuer musst du die ableitung bilden (f`(x)).
hier noch mal ne erinnerung:
f(x)=ax^n -> f`(x)=a*n*x^(n-1)
die ableitung setzt du gleich null:
f`(x)=0 jetzt berechnest du wieder die x fuer die das gilt, da dein polynom vom grad 3 war, ist deine ableitung vom grad 2, sprich du hast hier fuer deine aufgabe eine quadratische gleichung, die kannst wie schon bei den nullstellen erwaehnt mit hilfe der p-q-formel z.b. loesen.
diese x, die du dann berechnet hast (nenn ich mal xe1,xe2), sind moegliche extremstellen, die werden mit hilfe der zweiten ableitung ueberprueft.
die zweite ableitung berechnest du indem du die erste nochmal ableitest!
jetzt setzt du xe1,xe2 in die zweite ableitung (f``(x) ) ein.
ist f``(xe) >0 -> liegt bei xe ein minimum
ist f``(xe) <0 -> liegt bei xe ein maximum
ist f``(xe) =0 -> liegt ein moeglicher wendepunkt vor
womit wir auch schon bei den wendepunkten waeren, hierfuer setzt f``(x)=0, f``(x) ist hier bei deiner aufgabe nur noch vom grad 1.
berechnest also das moegliche xw, wenn du bei der ueberpruefung der extremstellen nicht schon auf einen wendepunkt gestossen bist.
ueberpruefen koennt man ihn jetzt noch mit der dritten ableitung, wird i der schule aber in der regel nicht gemacht.
graph.
wenn du das noch nicht getan hast, berechnest du jetzt zu deinen extremstellen, wendepunkten, nullstellen die zugehoerigen funktionswerte f(x), dann machst du dir zusaetzlich noch ne wertetabelle und traegst alle punkte ein und zeichnest dann deinen graphen.
symmetrie:
symmetrie solltest du am besten am anfang machen, denn wenn du feststellst, dass die funktion symmetrisch zur y-achse ist (wie der cos) dann reicht es wenn du nur eine seite betrachtest (pos oder neg x-achse), da ja auf der anderen seite alles gespiegelt vorkommt.
ein funktion ist gerade oder achsensymmetrisch (wie der cos), wenn gilt:
f(x)=f(-x)
ein funktion ist ungerade oder punktsymmetrisch (wie der sin), wenn gilt:
-f(x)=f(-x)
das testet du mit deiner funktion, ob eine der gleichungen gilt.
tangente durch den wendepunkt:
eine tangente ist eine gerade!
fuer eine gerade braucht man einen punkt und eine steigung. bei einer tangente ist die besonderheit das ihre steigung gleich der steigung der funktion ist, an der stelle an der die tangente die funktion beruehrt, hier der wendepunkt (xw,f(xw)).
ich schreib mal fuer die tangente y_t=mx+b
m ist die steigung b der y-achsen abschnitt.
m und b musst du berechnen:
m=f`(xw)
b=f(xw)-m*xw |
fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 08:43: |
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2.) Ein Graph berührt bei x=1 die x-Achse und hat bei W(3/-16) einen wendepunkt.
ermitteln sie f(x)= ax^3 + bx^2 + cx +d
da bin ich wieder:
der hinweis:
Ein Graph berührt bei x=1 die x-Achse
bedeutet das f(1)=0
der hinweis:
W(3/-16)
bedeutet zum einen: f(3)=-16
und zum anderen: f``(3)=0
gesucht sind jetzt a,b,c,d von f(x):
f(x)= ax^3 + bx^2 + cx +d
das sind die gleichungen die du loesen musst:
f(1)=a+b+c+d=0
f(3)=27a+9b+3c+d=-16
f``(3)=18a+2b=0
du hast hier 3 gleichungen und vier unbekannte, kann es sein dass die zweite aufgabe unvollstaendig ist, oder ich lese nicht alle infos daraus?! |
Raz (Raz)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 09:23: |
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Du hast meiner Ansicht nach vergessen, daß berührt heißt, daß der Graph nicht schneidet. Damit muß hier eine Extremstelle sein ( f'(x)=0 ). Damit hast du vier Bedingungen, die du gegeneinander aufrechnen kannst.
Ralph |
fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 11:30: |
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wieso muss da ne extremstelle sein, tangente heisst immer das der graph an einem punkt beruehrt wird, was die tangente ins unendlichen macht is egal. da kann sie die funktion ruhig schneiden. |
Raz (Raz)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 11:38: |
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Was anderes habe ich ja auch gar nicht gesagt. Eine Extremstelle ist ja immer nur eine relative Extremstelle. Und damit ist es unabhängig, ob nachher irgendwo nochmal geschnitten wird oder nicht.
Ralph |
fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 12:49: |
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du hast mich glaube ich nicht verstanden!
erklaer mir mal warum der wendepunkt (3/-16) eine extremstelle sein soll, aber bitt agnz langsam! |
Raz (Raz)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 13:43: |
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Das habe ich nicht gesagt. Ich rede von x = 1 und nicht von diesem Punkt. Für diesen Punkt hast du natürlich Recht.
Ralph |
fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 14:10: |
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He!
jetzt verstehe ich, haettest doch sagen koennen das du x=1 meintest, du hast ja leider auch nur f`(x)=0 geschrieben und nicht f`(1)=0, das ist naemlich die gleichung die ihn weiterbringt, mit f(x)=0 haette er nichts anfangen koennen:
ALSO:
Hi TOMIK,
die vierte gleichung fuer aufgabe 2 lautet:
f`(1)=3*a+2*b+c=0 |
Raz (Raz)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 14:15: |
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Ja, sorry, sehe ich ein...
Ralph |
Alex
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 18:18: |
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schreibe morgen früh ne vorklausur nach!
kann mir bitte jemand nur sagen wie ich:
-den wendepunkt
-die nullstellen
-die extremstellen
-uns bestimme??
und wie ich am besten an die ganze sache rangehe!?!?
ich danke auf alle fälle! |
Lorelei
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 18:54: |
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Hallo Alex,
Bitte bei neuen Fragen einen neuen Beitrag öffnen. |
Julia
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 20:02: |
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Hi Alex!
1) Wenn Du den Wendepunkt berechnen willst, brauchst du grundsätzlich die zweite Ableitung. Die Nullstellen der zweiten Ableitung stellen die Wendepunkte der Funktion dar. Falls an der gleichen Stelle die erste Ableitung auch null wird, befindet sich an der Stelle ein Terassenpunkt (das ist auch eine Art von Wendepunkt)
2) Die Nullstellen bestimmst Du, indem du die Funktion gleich Null setzt. Du solltest versuchen, die Funktion in Faktoren zu zerlegen, dann siehst du die Nullstellen auf einen Blick. Dazu ein kleines Beispiel:
f(x) = x^3 - x
Nullstellenberechnung:
f(x) = 0
x^3 - x = 0
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1) = 0
Die Gleichung wird null, wenn einer der Faktoren null ist:
x1=0
x+1=0 => x2=-1
x-1=0 => x3=1
Wenn du einen Bruch als Funktion hast und im Zähler kein x vorkommt, hat die Funktion generell keine Nullstellen.
3) Für Extremstellen brauchst du die erste Ableitung. Da wo die erste Ableitung eine Nullstelle hat, hat die Funktion eine Extremstelle. Den Wert setzt du in die Gleichung der zweiten Ableitung ein. Wenn das Ergebnis positiv ist, hat die Funktion an der Stelle einen Tiefpunkt; wenn das Ergebnis negativ ist, hat die Funktion an der Stelle einen Hochpunkt. Falls die erste Ableitung schon so kompliziert ist, daß du keine Lust hast, auch noch die zweite Ableitung zu berechnen, dann kannst du auch eine Monotonieuntersuchung der ersten Ableitung machen und so die genaue Art der Extremstellen bestimmen.
Beispiel:
f(x) = x^3 - x
f'(x) = 3x^2 - 1
f''(x) = 6x
Extremwerte:
1) erste Ableitung null setzen:
f'(x) = 0
3x^2=1
x^2=1/3
x1=wurzel(1/3); x2=-wurzel(1/3)
2) Ergebnisse in die zweite Ableitung einsetzen:
f''(wurzel1/3)=6*wurzel(1/3) > 0
=> f hat bei x=wurzel(1/3) einen Tiefpunkt.
f''(-wurzel1/3) < 0
=> f hat bei x=-wurzel(1/3) einen Hochpunkt.
Wendepunkte:
1) zweite Ableitung null setzen:
f''(x)=0
6x=0 => x=0
2) Ergebnis in die erste Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob es sich um einen Terassenpunkt handelt:
f'(0)=-1
=> f hat bei der Stelle x=0 einen Wendepunkt, aber keinen Terassenpunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x=0 keine Nullstelle hat.
Aber was zum Teufel sind "uns"???
Wenn du noch weitere Fragen hast, dann rühr dich, ich werd heute noch ein paar mal nachschauen. Ich hoffe, meine Erklärungen haben dir ein bißchen geholfen. |
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