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spockgeiger
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 1999 - 19:18: | 
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hallo leute
wie beweist man folgendes:
sei |x|<1, k aus N
lim(xnnk)=0 ???
vielen dank im voraus...
spockgeiger |
habac
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 1999 - 13:57: |
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Hi spockgeiger
Dein Problem ist so schwierig, das es ziemlich sicher nicht aus den Klassen 11-13 stammt, aber es ist umso interessanter!
Ich probiers mal so:
Für x>0 (x<0 ist dann glaube ich, kein Problem) setze ich y = 1/x, also ist y>1, sagen wir y = 1 + d (d>0)
Dann betrachte ich lim yn/nk für n gegen unendlich.
Beweisen müssten wir, dass dieser Grenzert gegen unendlich geht, dann geht der Kehrwert gegen 0.
Wenn Du jetzt benützen dürftest, dass die Exponentialfunktion jede Potenzfunktion dominiert (mit Tayler-Reihe mit Argument n), wären wir fertig.
Das wird aber nicht der Fall sein, also nehmen wir den binomischen Lehrsatz für yn = (1 + d)n. Dann kommt im Zähler
(1+d)n irgendeinmal ein Summand (n tief (k+1))dk+1, der schneller gegen unendlich geht als nk
Klappt es so? |
spockgeiger
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 1999 - 18:11: |
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ich fuerchte, dass hilft mir nicht so weiter,
geht das ganze auch etwas elementarer?
uebrigens, du hast recht, ich sstudiere mathe im ersten semester, und habe eigentlich keine probleme, aber diese aufgabe raubt mir den nerv...
danke im voraus
spockgeiger |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 1999 - 23:52: |
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Man könnte es auch mit L'Hospital beweisen :
Sei wieder y=1/x.Dann gilt
lim xnnk = lim nk/yn = klny * lim nk-1/yn
n->¥ n->¥ n->¥
Wenn man dies fortführt erhält man schließlich die Form
C(y,k)*lim(1/yn)
n->¥
mit einer geeigneten Konstanten C,die von y und k abhängt.Dieser Grenzwert ist aber ganz offensichtlich 0.
Zweite Möglichkeit : Da lim(n/ln(n)) nach L'Hospital ¥ ist,gibt es ein n>1 für das n/ln(n)>(-k-1)/lnx
Dies ist aber äquivalent zu nln(x)>(-k-1)ln(n) bzw. xn<n-k-1=n-k/n
=> xnnk<1/n so daß die Behauptung aus dem Majorantenkriterium folgt. |
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