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Katrin (nudel)
Neues Mitglied
Benutzername: nudel
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 13:53: | 
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Hallo!
Nehme im Moment in Mathe Extremwertaufgaben durch. Habe jetzt eine Geometriehausaufgabe aufbekommen, mit der ich nicht zu Recht komme....
wäre super, wenn mir jemand helfen könnte:
Geben ist ein Kegel. In diesen Kegel soll ein Zylinder einbeschrieben werden, der a) den größten Rauminhalt b) die größte Oberfläche, c) die größte Mantelfläche hat.
Habe mir dazu zunächst eine Skizze angefertigt:
aus der Zeichnung ergibt sich für mich der zweite Strahlensatz:
H-h/H = r/R
gegeben sind :
Kegel: V= 1/3(pir²h)
Oberfläche: pir²+pirs
Zylinder: V=pir²h
Oberfläche: 2pirh+2pir²
tja...aber was nun? Ich muss irgendwas umstellen und schließlich einsetzen...aber was und wo?
Bitte helft mir weiter!!
DANKE! |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 16:40: |
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Hi Katrin,
alles Schwierige hast du doch schon gelöst :-)
a) Zylindervolumen soll maximiert werden
V(r,h)=pi*r^2*h hängt noch von zwei Variablen ab.
H, R sind bekannt.
Nebenbed.:
(H-h)/H = r/R
=>H-h=Hr/R
=>-h=Hr/R-H
=>h=-Hr/R+H
Einsetzen in V(r,h)
V(r)=pi*r^2*(-Hr/R+H)
=-(H/R)pir^3+Hpir^2
V'(r)=-3(H/R)pir^2+2Hpir
V''(r)=-6(H/R)pir+2Hpi
V'(r)=0
-3(H/R)pir^2+2Hpir=0
Hpir[(-3/R)r+2)=0
r=0 macht keinen Sinn, bleibt noch
(-3/R)r+2=0
(-3/R)r=-2
r=(2/3)R
V''((2/3)R)=-2Hpi<0, also lokales Max für r=(2/3)R
Mit h=-Hr/R+H ergibt sich:
h=1/3H
Der maximale Zylinder muss also 1/3 so hoch sein wie der Kegel, der Radius muss 2/3 des Kegelradius betragen.
b)O(r,h)=2pirh+2pir²
Vorgehensweise wie oben
c)M(r)=2pirh
wie oben
Gruß
Peter
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Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 103
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 16:44: |
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Kleiner Nachtrag:
Konsequenterweise muss man noch das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs untersuchen:
ID=]0;R[ für r
also:
lim V(r)
r->0
und
lim V(r)
r->R
Gruß
Peter |
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