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Beitrag |
    
Alex
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 11:46: | 
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Hi,
ich soll die Exponentialfunktion f(x)=a^x mit der h-Methode ableiten.
Okay... die Lösung ist f'(x)=a^x*ln(a)... aber wie kommt man darauf???
Schon mal vielen Dank für eure Hilfe!!! |
DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 12:44: |
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Hi Alex,
ich würde folgendermaßen argumentieren:
(f(x+h)-f(x))/h = (a(x+h)-a^x)/h
=a^x*(a^h-1)/h
Strebt nun (a^h-1)/h für h->0 gegen einen Grenzwert, dann ist f differenzierbar. Dierer Grenzwert ist (wenn er existiert) f'(0), denn (f(0+h)-f(0))/h = (a^h-1)/h
Somit gilt:
f'(x) = f'(0)*f(x)
Geradezu "traumhaft" ist die Funktion f, für die gilt f'(0)=1 und damit f'(x)=f(x). Ihre Basis nenne ich e.
--> f'(0)=lim(h->0)(e^h-1)/h =1
<=> e=lim(h->0)(1+h)^(1/h)
wir setzen h=1/n und es ergibt sich:
e=lim(n->unendlich)(1+1/n)^n
Dieser grenzwert sollte bekannt sein. Es handelt sich um die eulersche Zahl (e=2,7...)
==> (e^x)'=e^x
Nun kannst du für jede beliebige Basis argumentieren, denn es gilt:
a^x=e^(ln(a)*x)
nach der Kettenregel ergibt sich also.
(a^x)'=(e^(ln(a)*x))'=ln(a)*e^(ln(a)*x) = ln(a)*a^x
q.e.d.
Ich hodffe ich habe dir geholfen. Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Alex
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 20:09: |
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Hi "Dull",
vielen Dank für deine Hilfe!!!
Ciao... |
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