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Alex
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 11:46: |
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Hi, ich soll die Exponentialfunktion f(x)=a^x mit der h-Methode ableiten. Okay... die Lösung ist f'(x)=a^x*ln(a)... aber wie kommt man darauf??? Schon mal vielen Dank für eure Hilfe!!! |
DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 58 Registriert: 06-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 12:44: |
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Hi Alex, ich würde folgendermaßen argumentieren: (f(x+h)-f(x))/h = (a(x+h)-a^x)/h =a^x*(a^h-1)/h Strebt nun (a^h-1)/h für h->0 gegen einen Grenzwert, dann ist f differenzierbar. Dierer Grenzwert ist (wenn er existiert) f'(0), denn (f(0+h)-f(0))/h = (a^h-1)/h Somit gilt: f'(x) = f'(0)*f(x) Geradezu "traumhaft" ist die Funktion f, für die gilt f'(0)=1 und damit f'(x)=f(x). Ihre Basis nenne ich e. --> f'(0)=lim(h->0)(e^h-1)/h =1 <=> e=lim(h->0)(1+h)^(1/h) wir setzen h=1/n und es ergibt sich: e=lim(n->unendlich)(1+1/n)^n Dieser grenzwert sollte bekannt sein. Es handelt sich um die eulersche Zahl (e=2,7...) ==> (e^x)'=e^x Nun kannst du für jede beliebige Basis argumentieren, denn es gilt: a^x=e^(ln(a)*x) nach der Kettenregel ergibt sich also. (a^x)'=(e^(ln(a)*x))'=ln(a)*e^(ln(a)*x) = ln(a)*a^x q.e.d. Ich hodffe ich habe dir geholfen. Gruß, DULL Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis. Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Alex
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 20:09: |
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Hi "Dull", vielen Dank für deine Hilfe!!! Ciao... |
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