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minniem (minniem)
Neues Mitglied
Benutzername: minniem
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 13:32: | 
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Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Beweisen Sie:
Die in einem Punkt x0 (Element aus R) stetigen Funktionen bilden einen Ring.
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wo ich da ansetzen soll.
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 383
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 14:42: |
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Hi minniem
Welche Sätze dürft ihr dafür alles verwenden?
Zum Beispiel, dass Summe und Produkt zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist??
MfG
C. Schmidt |
minniem (minniem)
Junior Mitglied
Benutzername: minniem
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 15:42: |
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Ja, das dürfen wir verwenden. :-) |
minniem (minniem)
Mitglied
Benutzername: minniem
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. September, 2002 - 16:19: |
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Also, bei dem Nachweis, dass die Funktionen einen Ring bilden, muss ich doch im Detail folgendes nachweisen:
1. <R, +> ist Gruppe
2. <R, *> ist Halbgruppe
3. Kommutativgesetz: a+b = b+a und a*b = b* a
(ist kein Problem)
4. Distributivgesetz von * bezüglich +:
a* (b+c) = a*b + a *c (auch kein Problem).
Wenn ich beweisen will, dass <R, +> Gruppe ist, dann muß es ein neutrales Element und inverse Elemente geben. Wie bekomme ich die raus? Hat da jemand einen Ansatz für mich?
Vielen Dank schon mal
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 411
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. September, 2002 - 16:40: |
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Hi minniem
Also, seien f,g und h stetige Funktionen.
Addition definiert durch
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
<R,+> ist eine Gruppe:
Assoziativgesetz:
(f+(g+h))(x)
=f(x)+(g+h)(x)
=f(x)+g(x)+h(x)
=(f+g)(x)+h(x)
=((f+g)+h)(x)
Neutrales Element ist die Nullfunktion o.
(f+0)(x)=f(x)+o(x)=f(x)+0=f(x)
Invers zu f ist -f:
(f+(-f))(x)=f(x)-f(x)=0
Kommutativgesetz:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)
In <R,*> müssen jetzt beide Distributivgesetze und das Assoziativgesetz gelten.
Multiplikation definiert durch:
(f*g)(x)=f(x)*g(x)
Assoziativgesetz:
(f*(g*h))(x)
=f(x)*(g*h)(x)
=f(x)*g(x)*h(x)
=(f*g)(x)*h(x)
=((f*g)*h)(x)
Distributivgesetze:
(f*(g+h))(x)
=f(x)*(g+h)(x)
=f(x)(g(x)+h(x))
=f(x)*g(x)+f(x)*h(x)
((f+g)*h)(x)
=(f+g)(x)*h(x)
=(f(x)+g(x))*h(x)
=f(x)*h(x)+g(x)*h(x)
Du musst jetzt nur noch überall das x durch dein x0 ersetzen.
MfG
C. Schmidt |
