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Dj3000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 18:44: | 
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Könnt ihr mir das sagen? Ich habe nämlich null ahnung.
Und
Wann ist eine Folge steigend/fallend?
Danke |
Uwe
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 20:35: |
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Der Grenzwert einer Folge ist wie die Asymptote einer irrationalen Funktion. Für jedes n=n+1 ist die Differenz des Grenzwertes und des Folgengliedes kleiner als der vorhergehende, die Folge nähert sich bei steigendem n immer mehr dem Grenzwert. Dabei kann sie aber auch um den Grenzwert "herumhüpfen, kann also einmal größer und einmal kleiner sein, der Betrag der Differenz muss aber immer kleiner werden.
Steigend ist eine Folge wenn a(n)-a(n+1)<0 und fallend, wenn a(n)-a(n+1)>0. Du musst einfach einen Grenzprozess durchführen, d.h. Du bildest die oben genannte Differenz und schaust dann einfachob eine der beiden Bedingungen erfüllt ist. Falls noch Fragen sind, einfach mailen |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 20:44: |
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Hi Dj3000!
Beginnen wir mit "steigend/fallend".
Eine Folge heißt "streng monoton steigend", wenn jedes Folgenglied größer als das vorherige ist.
Beispiele:
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...
oder
1 , 1,1 , 1,11 , 1,111 , 1,1111 , 1,11111 , ...
"Streng monoton fallend" sind dann entsprechend Folgen, bei denen jeder Term kleiner als der vorherige ist.
Beispiele:
6, 4, 2, 0, -2, -4, ...
oder
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...
oder
0,9 , 0,89 , 0,889 , 0,8889 , 0,88889 , ...
Formal aufgeschrieben heißt das:
Eine Folge {an} ist "streng monoton steigend", wenn gilt
an+1 > an für alle n aus IN
(Hierfür kann man auch
an+1 -an > 0
schreiben.)
Eine Folge {an} ist "streng monoton steigend", wenn gilt
an+1 < an für alle n aus IN
(Hierfür kann man auch
an+1 -an < 0
schreiben.)
Beispiel: Zeige, dass an=1/n streng monoton fallend ist.
an+1 -an = 1/(n+1) - 1/n
Diese beiden Brüche können wir gleichnamig machen, indem wir den linken Bruch mit n und den rechtne mit (n+1) erweitern:
=n/n(n+1) - n+1/n(n+1)
=n-(n+1)/n(n+1)
=n-n-1)/n(n+1)
=-1)/n(n+1) < 0.
Also ist {an} streng monoton fallend.
Jetzt zu Deiner Frage mit Grenzwert:
Hier die Wischiwaschi-Definition von Grentwert:
Es gibt Folgen, die sich immer näher an eine Zahl annähern und dieser beliebig nahe kommen. Diese Zahl nennt man dann den Grenzwert dieser Zahl.
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, nennt man konvergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, nennt man divergent.
Beispiel einer Folge mit Grenzwert:
an= (n+1)/n
Die ersten Werte dieser Folge sind:
2/1 = 2
3/2 = 1,5
4/3 = 1,333...
5/4 = 1,25
6/5 = 1,2
7/6 = 1,166...
8/7 = 1,142...
9/8 = 1,125...
Wie man unschwer erkennen kann, ist diese Folge "streng monoton fallend", da jeder Term (zumindest bis zum 8.) kleiner als der vorherige ist. Zusätzlich kann man -wenn man noch mehr Terme ausrechnet- feststellen, dass die Werte zwar immer kleiner wird, aber immer größer 1 werden. Obwohl die Terme die Zahl nie erreichen, kommen sie ihr aber beliebig nahe.
Man kann z. B. zeigen, dass der Abstand dieser Folge zur Zahl 1 irgendwann kleiner als 1 Millionstel und noch kleiner wird.
Also ist die Zahl 1 der Grenzwert dieser Folge.
Dafür gibt es zwei unterschiedliche Schreibweisen:
an ® 1
oder
liman ® ¥ an = 1
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Dj3000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 22:02: |
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Ich hoffe ich habs verstanden.
Danke euch.
Das ihr das versteht ist ja sagenhaft *g*
ICh kapier null.
Naja
CU |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 12:31: |
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Uwe: Das mit dem monoton nähern stimmt leider nicht. Es muß sich nähern, aber nicht monoton.
Ich erklärs dem Dj in seinem anderen Thread näher, das könnte auch dir nicht schaden. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 16:32: |
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Tach allerseits!
Mir fällt gerade auf, was ich da oben für einen Mist geschrieben habe. Und zwar macht die Zeile
liman-> ¥ an -> 1
keinen Sinn...
Richtig muss es natürlich heißen:
limn -> ¥ an -> 1
Nur so der Vollständigkeit halber...
Ciao
Cosine |
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