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Beitrag |
    
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 08:09: | 
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1. ha, hb, hc; 2. sa, sb, sc; viel Spaß, F. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 16:18: |
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Hallo Franz,
Hier eine Lösung zu Deiner ersten Aufgabe
Bei der Konstruktion eines Dreiecks aus den drei Höhen
benützen wir den Satz:
Die Dreiecksseiten a , b , c verhalten sich wie die Reziprokwerte
gleichnamiger Höhen
a : b : c = 1 / ha : 1 / hb : 1 / hc
Diese Behauptung folgt unmittelbar aus dem elementaren Flächensatz:
a * ha / 2 = b * hb / 2 = c * hc / 2
Bei der Konstruktion ( Beispiel: ha = 5 , hb = 7 , hc =8 )
zeichnen wir zunächst ein Hilfsdreieck A'B'C' mit diesen Höhen als Seiten:
a' = B ' C ' = 5 , b' = C ' A ' = 7 , c' = A ' B ' = 8.
Dann verhalten sich dessen Höhen wie die Seiten des
gesuchten Dreiecks ABC.
Dem Dreieck A' B ' C ' entnehmen wir nun die Höhen
und bauen nach dem Satz SSS daraus ein Dreieck A*B*C*.
B*C* = a* = ha' (~ 7), C*A* = b* = hb' (~ 5) , A*B* = c* = hc' (~ 4.4)
Dieses Dreieck ist zum gesuchten ähnlich und muss nun noch
derart ähnlich vergrössert werden, dass z.B. die Höhe ha
5 Längeneinheiten misst.
Dies kann dadurch geschehen, dass unter Festhaltung des Winkels
bei C* der Punkt A* auf dem Schenkel dieses Winkels so lange
verschoben wird, bis sein Abstand von der Seite B*C*
5 LE beträgt.
Die Endlage ist die Ecke A des gesuchten Dreiecks ,
C fällt mit C* zusammen und B liegt auf C*B*
und der Parallelen durch A zu A*B*.
Das wärs !
Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 16:45: |
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Hallo Franz,
Als Ergänzung zu obiger Lösung folgt noch eine Bemerkung zur
Lösbarkeit:
Da die Summe zweier Dreiecksseiten grösser als die dritte Seite
und der Betrag der Differenz dieser Seiten kleiner als die dritte Seite
sein muss , muss eine analoge Bedingung für die Höhen des Dreiecks
erfüllt sein
Nochmals
Mit freundlichen Grüßen
H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 22:06: |
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Hallo megamath, danke für die schnelle Lösung! Die erste Frage war gedacht als Lockerung für die eigentliche, zweite. Freundliche Grüße, Franz. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 22:57: |
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An alle Planimetriefans,
Ins Fitnessprogramm sollen noch drei weitere planimetrische
Aufgaben aufgenommen werden (Numerierung fortlaufend)
Auch Lehrkräfte dürfen mitmachen, um ihre geometrischen Kräfte
(nomen est omen) zu stählen !
Beispiel 3
Konstruiere ein Dreieck ABC aus sa, sb und hc.
Hinweis: Spiegelung von ABC am Mittelpunkt der Seite BC
Beispiel 4
Konstruiere ein Dreieck ABC aus b , c und beta minus gamma.
Hinweis: Spiegelung von ABC an der Mittelsenkrechten vom BC.
Beispiel 5
Konstruiere in einem gegebenen Kreis ein Sehnenviereck ABCD
(diese Reihenfolge der Ecken), in welchem AB = a , CD = b ,
BC : AD = u : v gegeben ist.
Hinweis Spiegelung von ABC an der Mittelsenkrechten von AC.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juli, 2000 - 00:02: |
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Superb! Übrigens kann man 4 auch per Außenwinkel knacken, Franz. |
H.R.Moser,megameth.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 21:05: |
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Hi Franz,
Es ist höchste Zeit, dass Deine zweite Aufgabe endlich gelöst wird.
Hier mein Lösungsvorschlag:
In einer Analysisfigur sind im Dreieck ABC die Schwerlinien
sa = AU ( U auf der Seite a = BC ),
sb = BV ( V auf der Seite b = CA ),
sc = CW ( W auf der Seite c = AB)
mit dem Schwerpunkt S eingetragen.
Wir spiegeln das Dreieck SBC am Punkt U und erhalten als
Bildpunkt von S den Punkt S*.
Das Dreieck SS*B lässt sich nach dem Satz SSS konstruieren.
Seine Seiten sind: SS* = SU + US* = 2/3 * sa
SB = 2/3 * sb
BS* = 2/3 * sc.
Aus diesem Hilfsdreieck lässt sich das gesuchte Dreieck
leicht konstruieren
Die Ecke C liegt auf der Parallelen zu BS* durch S
und auf der Parallelen zu BS durch S*.
Die Ecke A liegt auf S*S und auf dem Kreis um S
mit Radius 2/3 * sa.
Determination
Wenn die drei Schwerlinien die Dreiecksungleichungen erfüllen,
hat die Aufgabe stets genau eine Lösung
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 22:44: |
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Hi,
Wir lösen Aufgabe 4 konstruktiv und für höhere Klassenstufen
auch rechnerisch für das numerische Beispiel
delta = 30° , b = 8 cm , c = 6 cm .
In der Analysisfigur spiegeln wir das Dreieck ABC
an der Mittelsenkrechten der Strecke a = BC .
A* sei das Bild von A. Dann ist das Dreieck CAA* nach
Seite - Winkel - Seite bestimmt und konstruierbar .
Es gilt : CA = b = 8 cm , CA* = c = 6 cm,
Winkel ACA* = Winkel BCA* - Winkel BCA =
beta - gamma = delta = 30°
Aus diesem Hilfsdreieck CAA* lässt sich das gesuchte Dreieck ABC
leicht konstruieren.
Wir spiegeln C an der Mittelsenkrechten der Strecke AA* und herhalten so die Ecke B.
Die Rechnung gibt mit dem Kosinussatz:
x = AA* = wurzel ( b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos (delta))
= wurzel ( 64 + 36 -96 * ½ *wurzel (3)) = wurzel(100 - 48 * wurzel(3))
~ 4,106 cm
Mit dem Sinussatz erhalten wir:
sin (gamma) = c / x * sin (delta) = 3 / x ~ 0.7306
daraus gamma ~ 46,94° und beta = delta + gamma ~ 76.94°
Schliesslich kommt a = x + 2 * c * cos (beta) ~ 6.818818 (!)
Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 12:32: |
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Hi,
Wir lösen Aufgabe 5, bei welcher in einem gegebenen Kreis k
ein Sehnenviereck ABCD zu konstruieren ist,
von welchem die Seiten AB = a , CD = c und das Verhältnis
der übrigen Seiten, BC = b , DA = d , nämlich b : d = u : v
gegeben sind.
Numerisches Beispiel :
Kreisradius r = 5 cm, a = 9 cm , c = 7 cm , u : v = 3 : 2 .
In der Analysisfigur spiegeln wir das Dreieck ABC an der
Mittelsenkrechten der Diagonalen AC.
Da AC eine Kreissehne ist , geht diese Mittelsenkrechte
durch den Kreismittelpunkt und der Bildpunkt B* von B
liegt ebenfalls auf dem Kreis.
Es gilt: CB* = a , AB* = b.
Konstruktion
Die Ecke C wird auf dem Kreis beliebig gewählt.
Ein Kreis um C mit Radius c schneidet den Kreis k in D ,
ein Kreis um C mit Radius a schneidet den Kreis k in B*.
Konstruktion des Apolloniuskreises bezüglich der festen
Punkte B* und D für das Verhältnis u : v.
Die Strecke B*D wird durch die Punkte T1 und T2 innen
und aussen in diesem Verhältnis geteilt; dann ist die Strecke
T1 T2 der Durchmesser des Apolloniuskreises, welcher den
gegebenen Kreis k in der Ecke A des gesuchten Sehnenvierecks
schneidet Die Ecke B findet man als Schnittpunkt der Parallele
durch B* zu AC mit k .
Damit sind alle Ecken des Sehnenvierecks gefunden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 12:57: |
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Lehrreich wie immer, megamath! Auf APPOLONIUS bin ich nicht gekommen. Schönes Wochenende wünscht Franz. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juli, 2000 - 20:03: |
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Hallo Franz,
Besten Dank für Dein Lob und Deine Anerkennung
Die Fitnessaufgabe 3 aus dem Förderprogramm für die
signifikant vernachlässigte Geometrie in diesen Landen
ist immer noch nicht gelöst.
Ich hoffe , dass ein Kollege noch zugreifen wird.
Wenn dies auch in Zukunft nicht der Fall sein sollte, werde
ich das selbst nach meinen Ferien nachholen.
Ich reise morgen nach Gülük in der Südtürkei ab, um ganz in der
Nähe dieses Ortes ,in MILET nämlich, an einem Symposium für Elementargeometrie teilzunehmen.
Milet ist ja der Ort, wo unser Altmeister Thales gelebt
und gewirkt hat.
Ihm zu Ehren werden wir einige Kreise, die seinen Namen tragen,
in den Sand zeichnen und über die Auswirkung seines Satzes meditieren
Ich sehe diesem Unterfangen mit grossem Interesse entgegen
Meine Mitarbeit im Forum muss zwischenzeitlich sistiert werden.
Bis dann
Mit freundlichem Gruss
Hans Rudolf Moser,megamath. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juli, 2000 - 09:27: |
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Hallo, Hans Rudolf, eine interessante Reise wünschen wir (uns), mit neuen Problemen!
Die Aufgabe 3 - sa, sb, hc - hat durch die Hilfestellung leider etwas an Brillianz eingebüßt.
Mit A', 2sa und hc hat man sofort A; durch den sa/sb-Schnittpunkt (2:1...) dann B und so weiter.
Auf alle Fälle wird man sich die Idee - Hilfsparallelogramm - merken müssen.
Gruß Franz. |
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