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franz
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 08:09: |
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1. ha, hb, hc; 2. sa, sb, sc; viel Spaß, F. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 16:18: |
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Hallo Franz, Hier eine Lösung zu Deiner ersten Aufgabe Bei der Konstruktion eines Dreiecks aus den drei Höhen benützen wir den Satz: Die Dreiecksseiten a , b , c verhalten sich wie die Reziprokwerte gleichnamiger Höhen a : b : c = 1 / ha : 1 / hb : 1 / hc Diese Behauptung folgt unmittelbar aus dem elementaren Flächensatz: a * ha / 2 = b * hb / 2 = c * hc / 2 Bei der Konstruktion ( Beispiel: ha = 5 , hb = 7 , hc =8 ) zeichnen wir zunächst ein Hilfsdreieck A'B'C' mit diesen Höhen als Seiten: a' = B ' C ' = 5 , b' = C ' A ' = 7 , c' = A ' B ' = 8. Dann verhalten sich dessen Höhen wie die Seiten des gesuchten Dreiecks ABC. Dem Dreieck A' B ' C ' entnehmen wir nun die Höhen und bauen nach dem Satz SSS daraus ein Dreieck A*B*C*. B*C* = a* = ha' (~ 7), C*A* = b* = hb' (~ 5) , A*B* = c* = hc' (~ 4.4) Dieses Dreieck ist zum gesuchten ähnlich und muss nun noch derart ähnlich vergrössert werden, dass z.B. die Höhe ha 5 Längeneinheiten misst. Dies kann dadurch geschehen, dass unter Festhaltung des Winkels bei C* der Punkt A* auf dem Schenkel dieses Winkels so lange verschoben wird, bis sein Abstand von der Seite B*C* 5 LE beträgt. Die Endlage ist die Ecke A des gesuchten Dreiecks , C fällt mit C* zusammen und B liegt auf C*B* und der Parallelen durch A zu A*B*. Das wärs ! Mit freundlichen Grüßen Hans Rudolf Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 16:45: |
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Hallo Franz, Als Ergänzung zu obiger Lösung folgt noch eine Bemerkung zur Lösbarkeit: Da die Summe zweier Dreiecksseiten grösser als die dritte Seite und der Betrag der Differenz dieser Seiten kleiner als die dritte Seite sein muss , muss eine analoge Bedingung für die Höhen des Dreiecks erfüllt sein Nochmals Mit freundlichen Grüßen H.R. |
franz
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 22:06: |
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Hallo megamath, danke für die schnelle Lösung! Die erste Frage war gedacht als Lockerung für die eigentliche, zweite. Freundliche Grüße, Franz. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 22:57: |
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An alle Planimetriefans, Ins Fitnessprogramm sollen noch drei weitere planimetrische Aufgaben aufgenommen werden (Numerierung fortlaufend) Auch Lehrkräfte dürfen mitmachen, um ihre geometrischen Kräfte (nomen est omen) zu stählen ! Beispiel 3 Konstruiere ein Dreieck ABC aus sa, sb und hc. Hinweis: Spiegelung von ABC am Mittelpunkt der Seite BC Beispiel 4 Konstruiere ein Dreieck ABC aus b , c und beta minus gamma. Hinweis: Spiegelung von ABC an der Mittelsenkrechten vom BC. Beispiel 5 Konstruiere in einem gegebenen Kreis ein Sehnenviereck ABCD (diese Reihenfolge der Ecken), in welchem AB = a , CD = b , BC : AD = u : v gegeben ist. Hinweis Spiegelung von ABC an der Mittelsenkrechten von AC. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
franz
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juli, 2000 - 00:02: |
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Superb! Übrigens kann man 4 auch per Außenwinkel knacken, Franz. |
H.R.Moser,megameth.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 21:05: |
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Hi Franz, Es ist höchste Zeit, dass Deine zweite Aufgabe endlich gelöst wird. Hier mein Lösungsvorschlag: In einer Analysisfigur sind im Dreieck ABC die Schwerlinien sa = AU ( U auf der Seite a = BC ), sb = BV ( V auf der Seite b = CA ), sc = CW ( W auf der Seite c = AB) mit dem Schwerpunkt S eingetragen. Wir spiegeln das Dreieck SBC am Punkt U und erhalten als Bildpunkt von S den Punkt S*. Das Dreieck SS*B lässt sich nach dem Satz SSS konstruieren. Seine Seiten sind: SS* = SU + US* = 2/3 * sa SB = 2/3 * sb BS* = 2/3 * sc. Aus diesem Hilfsdreieck lässt sich das gesuchte Dreieck leicht konstruieren Die Ecke C liegt auf der Parallelen zu BS* durch S und auf der Parallelen zu BS durch S*. Die Ecke A liegt auf S*S und auf dem Kreis um S mit Radius 2/3 * sa. Determination Wenn die drei Schwerlinien die Dreiecksungleichungen erfüllen, hat die Aufgabe stets genau eine Lösung Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 22:44: |
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Hi, Wir lösen Aufgabe 4 konstruktiv und für höhere Klassenstufen auch rechnerisch für das numerische Beispiel delta = 30° , b = 8 cm , c = 6 cm . In der Analysisfigur spiegeln wir das Dreieck ABC an der Mittelsenkrechten der Strecke a = BC . A* sei das Bild von A. Dann ist das Dreieck CAA* nach Seite - Winkel - Seite bestimmt und konstruierbar . Es gilt : CA = b = 8 cm , CA* = c = 6 cm, Winkel ACA* = Winkel BCA* - Winkel BCA = beta - gamma = delta = 30° Aus diesem Hilfsdreieck CAA* lässt sich das gesuchte Dreieck ABC leicht konstruieren. Wir spiegeln C an der Mittelsenkrechten der Strecke AA* und herhalten so die Ecke B. Die Rechnung gibt mit dem Kosinussatz: x = AA* = wurzel ( b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos (delta)) = wurzel ( 64 + 36 -96 * ½ *wurzel (3)) = wurzel(100 - 48 * wurzel(3)) ~ 4,106 cm Mit dem Sinussatz erhalten wir: sin (gamma) = c / x * sin (delta) = 3 / x ~ 0.7306 daraus gamma ~ 46,94° und beta = delta + gamma ~ 76.94° Schliesslich kommt a = x + 2 * c * cos (beta) ~ 6.818818 (!) Bravo ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 12:32: |
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Hi, Wir lösen Aufgabe 5, bei welcher in einem gegebenen Kreis k ein Sehnenviereck ABCD zu konstruieren ist, von welchem die Seiten AB = a , CD = c und das Verhältnis der übrigen Seiten, BC = b , DA = d , nämlich b : d = u : v gegeben sind. Numerisches Beispiel : Kreisradius r = 5 cm, a = 9 cm , c = 7 cm , u : v = 3 : 2 . In der Analysisfigur spiegeln wir das Dreieck ABC an der Mittelsenkrechten der Diagonalen AC. Da AC eine Kreissehne ist , geht diese Mittelsenkrechte durch den Kreismittelpunkt und der Bildpunkt B* von B liegt ebenfalls auf dem Kreis. Es gilt: CB* = a , AB* = b. Konstruktion Die Ecke C wird auf dem Kreis beliebig gewählt. Ein Kreis um C mit Radius c schneidet den Kreis k in D , ein Kreis um C mit Radius a schneidet den Kreis k in B*. Konstruktion des Apolloniuskreises bezüglich der festen Punkte B* und D für das Verhältnis u : v. Die Strecke B*D wird durch die Punkte T1 und T2 innen und aussen in diesem Verhältnis geteilt; dann ist die Strecke T1 T2 der Durchmesser des Apolloniuskreises, welcher den gegebenen Kreis k in der Ecke A des gesuchten Sehnenvierecks schneidet Die Ecke B findet man als Schnittpunkt der Parallele durch B* zu AC mit k . Damit sind alle Ecken des Sehnenvierecks gefunden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser |
franz
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 12:57: |
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Lehrreich wie immer, megamath! Auf APPOLONIUS bin ich nicht gekommen. Schönes Wochenende wünscht Franz. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juli, 2000 - 20:03: |
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Hallo Franz, Besten Dank für Dein Lob und Deine Anerkennung Die Fitnessaufgabe 3 aus dem Förderprogramm für die signifikant vernachlässigte Geometrie in diesen Landen ist immer noch nicht gelöst. Ich hoffe , dass ein Kollege noch zugreifen wird. Wenn dies auch in Zukunft nicht der Fall sein sollte, werde ich das selbst nach meinen Ferien nachholen. Ich reise morgen nach Gülük in der Südtürkei ab, um ganz in der Nähe dieses Ortes ,in MILET nämlich, an einem Symposium für Elementargeometrie teilzunehmen. Milet ist ja der Ort, wo unser Altmeister Thales gelebt und gewirkt hat. Ihm zu Ehren werden wir einige Kreise, die seinen Namen tragen, in den Sand zeichnen und über die Auswirkung seines Satzes meditieren Ich sehe diesem Unterfangen mit grossem Interesse entgegen Meine Mitarbeit im Forum muss zwischenzeitlich sistiert werden. Bis dann Mit freundlichem Gruss Hans Rudolf Moser,megamath. |
franz
| Veröffentlicht am Montag, den 10. Juli, 2000 - 09:27: |
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Hallo, Hans Rudolf, eine interessante Reise wünschen wir (uns), mit neuen Problemen! Die Aufgabe 3 - sa, sb, hc - hat durch die Hilfestellung leider etwas an Brillianz eingebüßt. Mit A', 2sa und hc hat man sofort A; durch den sa/sb-Schnittpunkt (2:1...) dann B und so weiter. Auf alle Fälle wird man sich die Idee - Hilfsparallelogramm - merken müssen. Gruß Franz. |
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