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e-funktion beweis?

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Funktionen » Archiviert bis 10. April 2002 Archiviert bis Seite 12 » e-funktion beweis? « Zurück Vor »

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jimmy
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. April, 2002 - 14:45:   Beitrag drucken

wie beweist man, dass die natürliche Exponentialfunktion stetig und differenzierbar ist?
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juergen
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 09:29:   Beitrag drucken

Hallo Jimmy,

die Differenzierbarkeit der Eulerschen Funktion, ich bezeichne sie mit exp(x) zeigst Du, indem Du beweist, daß der limes des Differenzenquotienten für deltax gegen Null existiert:

Der Differenzenquotient DQ ist hier

DQ = (exp(x+deltax) - exp(x))/deltax

Man formt ihn so geschickt um, daß man den Limes vollziehen kann:

DQ = (exp(x)*exp(deltax) - exp(x))/deltax

DQ = exp(x) * (exp(deltax) - 1)/deltax

Jetzt erinnerst Du Dich an die eigentliche Definition der Euler Funktion als unendliche Reihe

exp(x) = Summe(x ^n/n!),

Summiert wird über alle n von 0 bis unendlich.

Damit ist

(exp(deltax) - 1)/deltax = 1 + deltax + höhere Potenzen von deltax

Somit darf man den Grenzübergang deltax --> 0 vollziehen, und man erhält

Limes(DQ) = exp(x),

die Funktion ist somit überall differenzierbar.

Bei der Stetigkeit hast Du zwei Möglichkeiten, ich sag Dir aus Zeitgründen nur die einfachere:

Zitiere lediglich den Satz: Jede an einer Stelle x differenzierbare Funktion ist dort auch stetig.

Den Beweis mit der epsilon und delta - Umgebung zeig ich Dir ein andermal, oder vielleicht erbarmt sich jemand anders?

Gruss
Juergen

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