Autor |
Beitrag |
jimmy
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. April, 2002 - 14:45: |
|
wie beweist man, dass die natürliche Exponentialfunktion stetig und differenzierbar ist? |
juergen
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 09:29: |
|
Hallo Jimmy, die Differenzierbarkeit der Eulerschen Funktion, ich bezeichne sie mit exp(x) zeigst Du, indem Du beweist, daß der limes des Differenzenquotienten für deltax gegen Null existiert: Der Differenzenquotient DQ ist hier DQ = (exp(x+deltax) - exp(x))/deltax Man formt ihn so geschickt um, daß man den Limes vollziehen kann: DQ = (exp(x)*exp(deltax) - exp(x))/deltax DQ = exp(x) * (exp(deltax) - 1)/deltax Jetzt erinnerst Du Dich an die eigentliche Definition der Euler Funktion als unendliche Reihe exp(x) = Summe(x ^n/n!), Summiert wird über alle n von 0 bis unendlich. Damit ist (exp(deltax) - 1)/deltax = 1 + deltax + höhere Potenzen von deltax Somit darf man den Grenzübergang deltax --> 0 vollziehen, und man erhält Limes(DQ) = exp(x), die Funktion ist somit überall differenzierbar. Bei der Stetigkeit hast Du zwei Möglichkeiten, ich sag Dir aus Zeitgründen nur die einfachere: Zitiere lediglich den Satz: Jede an einer Stelle x differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Den Beweis mit der epsilon und delta - Umgebung zeig ich Dir ein andermal, oder vielleicht erbarmt sich jemand anders? Gruss Juergen |
|