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*zufällige Sehne

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Stochastik/Statistik/Wahrscheinlichkeit » *zufällige Sehne « Zurück Vor »

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Anonym
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 06:59:   Beitrag drucken

In einem Kreis wird zufällig eine Sehne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ihre Länge größer ist als die Seitenlänge eines dem Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?
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reinhard
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 09:49:   Beitrag drucken

Hallo!

Nur mal eine Vermutung:
An einem Punkt am Rand des Kreises muß mit der Sehne begonnen werden. Der Winkel zwischen dem Radius zu diesem Punkt und der Sehne schwankt zufällig von -90 bis +90 Grad. Legt man in diesem einen Punkt eine Ecke des gleichseitigen eingeschriebenen Dreiecks, so muß die Sehne durch das Dreieck hindurch verlaufen, damit die Sehne größer als die Dreiecksseite ist. Gleichseitige Dreiecke haben einen Winkel von 60 Grad.
Bei 60 der 180 möglichen Grade ist die Sehne länger als die Dreieckseite (falsch formuliert, aber jeder weiß, was gemeint ist)
Also ist die Wahrscheinlichkeit 1/3.

Reinhard
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Anonym
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 10:26:   Beitrag drucken

Hinweis: Die Frage enthält eine kleine Ferkelei.
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habac
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 15:51:   Beitrag drucken

Wenn man aber zuerst den Mittelpunkt der Sehne im Innern des Dreiecks festlegt und die Wahrscheinlichkeit proportional zur "günstigen" und "möglichen" Fläche definiert, erhält man etwas anderes.
Und wenn man zuerst den Abstand der Sehne vom Mittelpunkt festlegt (Wahrscheinlichkeit proportional zur Länge) und dann ihre Richtung (auf die es gar nicht ankommt), gibt's wieder etwas anderes.
Ebenfalls von Kolmogorow inspiriert?
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 16:35:   Beitrag drucken

Ich denke Reinhard hat Recht!
Man muss nur seine Beschreibung auf alle Punkte des Kreises anwenden. Für jeden Ausgangspunkt ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu 1/3.
Nimmt man alle Kreispunkte als Ausgangspunkt, so sind alle Sehnen berücksichtigt.
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Anonym
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 21:41:   Beitrag drucken

BERTRANDsches Paradoxon: Lösung (1/2; 1/3; 1/4 ...) abhängig vom Rechenweg. Gab damals einigen Zoff - bis hin zur Ablehnung der Wahrscheinlichkeitstheorie.
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Zaph
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2000 - 12:27:   Beitrag drucken

Das Problem ist einzig und allein die Definition einer "zufälligen Sehne". Die Größe der W'keit ist dann vom Rechenweg unabhängig.

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