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FAbi (Rainbow)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 13:57: | 
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Hai!
Krieg schon wieder (wer beantwortet endlich die andere Frage???) eine Aufgabe einer MO nicht raus.
Betrachtet werden die Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen von 1-1.000.000. Beweise das die Summe der Kehrwerte größer als 1998 und kleiner als 1999 ist! |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 14:27: |
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hi, nur zum verstaendnis:
1998< sum(n=1,1.000.000) (1/sqrt(n)) <1999 ? |
FAbi (Rainbow)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 17:45: |
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Äähh... Jepp ich denke schon... Ja.
1998<1+1/sqrt(2)+1/sqrt(3)+...+1/sqrt(1000000)<1999
Alle Klarheiten beseitigt? :-) |
philipp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 19:13: |
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Ich weiß ja nit, aber wenn nach konkreten Zahlen gefragt ist, kann man es ja berechnen, es sei denn die wollen noch eine explizierte Formel haben.
1998 < 1998,54014549115 < 1999 |
FAbi (Rainbow)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 20:54: |
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Nun, da man im Wettbewerb ca. 1 Stunde Zeit hat und nur einen primitiven Taschenrechner zu Rate ziehen kann - Nein der exakte Wert dürfte nicht sehr viele Punkte bringen... Das Ganze muß sich eher durch abschätzen bestimmter Intervalle lösen lassen. Aber wie? f |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 09:47: |
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Hallo Fabi,
Ich bezeichne die gesuchte Summe mit S, also
S= S1000000 11/Öx
und benütze integral und Summensymbole in etwas abgekürzter Schreibweise.
Wir betrachten nun die Funktion f(x) = 1/Öx
Stammfunktion = 2Öx
1.Bild
Die rote Kurve ist das Bild von f(x).
Fläche unter der Kurve von x=1 bis x=1000000 ist: 1998.
(In Stammfunktion einsetzen: 2Ö1000000 - 2Ö1 = 1998)
Die Summe der grünen Streifen von 1 bis 1000000 ist genau S.
(Streifenbreite = 1, Streifenhöhe = 1/Ön)
Fläche unter der Kurve ist sicher kleiner als Streifen,
also: 1998 < S
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2. Bild
Fläche unter der Kurve wie vorher = 1998.
Fläche der grünen Streifen ist Summe (1/Öx von n=2 bis n=1000000.
Also ist: ò > S1000000 2
Wir addieren links und rechts 1:
ò + 1 > 1 + S1000000 2
Nun ist aber S = 1 + S1000000 2
und ò +1 = 1998 + 1 = 1999
also: 1999 > S
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Insgesamt: 1998 < S < 1999
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FAbi (Rainbow)
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 10:18: |
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Klingt ziemlich genial und einleuchtend! Danke. Eine Frage noch: Muß ich als 10.Klässler auf so was kommen??? F |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 12:19: |
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Hallo FABi,
Ich bin kein Lehrer und habe keine Ahnung was ihr so in der 10. Klasse lernt.
Es scheint mir allerdings, dass man da noch keine Integralrechnung kennt.
Es gibt also doch vielleicht eine einfachere Methode, um die Aufgabe zu lösen.
Es wäre interessant zu erfahren, wie euer Lehrer dies schlussendlich gelöst hat.
Mir fällt jedenfalls nichts anderes dazu ein.
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FAbi (Rainbow)
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 20:04: |
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Danke erstmal für die viele Mühe die du dir gemacht hast. Integrale? Was ist das?? ;-) Im Ernst, weder Summenzeichen (dieses E ähnliche Ding) noch Flächeninhalte von Graphen und dergleichen sind mir bekannt (unwissend... *heul*). Die Aufgabe stammt aus einem Wettbewerb und - die Lösung (wohl eher noch komplizierter als deine *g*) ist mir nicht bekannt. Da hier aber manchmal Leute rumspucken die die Originallösungen (der Wettbewerbsinitiatoren) haben, dachte ich, fragste mal. |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 20:44: |
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Hallo ich hab mich auch schon damit befasst, nur leider war ich zu langsam; ich hab den selben Lösungsweg gewählt wie Fern (Ich hätte nicht so schöne Graphiken eingebaut; Hut ab). Aber vielleicht hilft dir, was an diesem Link steht. |
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