| Autor |
Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 17:31: | 
|
Es handelt sich um die 4. Aufgabe des diesjährigen Mathewettbewerbs. Der Wettbewerb ist seit dem 1.März zu Ende und mich würde mal die Lösung dazu interessieren. Hier mal die Aufgabe:
Aus zwölf Strecken der Längen 1, 2, 3, 4, ..., 12 wird irgendwie ein Zwölfeck zusammengesetzt.
Man beweise, dass es dann stets in diesem Zwölfeck drei aufeinander folgende Seiten gibt, deren Gesamtlänge größer als 20 ist.
MfG
C. Schmidt |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 19:40: |
|
Stimmt, der Wettbewerb ist vorbei. So geht's:
Nummeriere die Kanten in der Reihenfolge, wie sie im 12-Eck vorkommen, mit K1, K2, ..., K12.
Dann gilt {K1,K2,...,K12} = {1,2,...,12}
Angenommen, es gilt
K1 + K2 + K3 <= 20
K2 + K3 + K4 <= 20
...
K10 + K11 + K12 <= 20
K11 + K12 + K1 <= 20
K12 + K1 + K2 <= 20
Wenn aber z. B. K3 + K4 + K5 = 20, dann kann K4 + K5 + K6 höchstens 19 sein, da sonst K3 = K6 gelten würde. Somit steht bei mindestens 6 der 12 Ungleichungen "<= 19" statt "<= 20".
Summiere alle 12 Ungleichungen. Es ergibt sich
3*K1 + 3*K2 + ... + 3*K12 <= 6*20 + 6 *19
denn jedes Ki kommt auf der linken Seite drei Mal vor. Also
3*(K1 + K2 + ... + K12) <= 234
Umsortieren:
3*(1 + 2 + ... + 12) <= 234
3 * 78 = 234 <= 234
Gleichheit kann jetzt nur gelten, wenn in den zwölf Ungleichungen abwechselnd "= 20" und "= 19" gilt.
Also (1)
K1 + K2 + K3 = 20
K2 + K3 + K4 = 19
K3 + K4 + K5 = 20
K4 + K5 + K6 = 19
K5 + K6 + K7 = 20
...
oder (2)
K1 + K2 + K3 = 19
K2 + K3 + K4 = 20
K3 + K4 + K5 = 19
...
Im Fall (1) folgt
a) K1 - K4 = 1
b) K2 - K5 = -1
c) K3 - K6 = 1
d) K4 - K7 = -1
....
und aus a) und d) nun K1 = K7. Widerspruch.
Fall (2) analog.
Gruß
Z. |
Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 13:40: |
|
Hi Zaph
Die Lösung gefällt mir 
Meine ist leider nicht ganz so schön. Den Anfang hab ich genauso gemacht. Ich kam auch auf das Ergebnis, dass sich immer 19 und 20 abwechseln müssen. Dann allerdings wird mein Beweis ein bißchen verwirrend ;)
Ich habe mir dann irgendwie angeschaut, dass sich beispielsweise die Zahl 20 nur aus 3geraden Zahlen oder aus 2ungeraden und einer geraden Zahl zusammensetzten läßt und das irgendwie damit bewiesen.
MfG
C. Schmidt |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 14:17: |
|
Na dann trotzdem viel Glück, dass du die volle Punktzahl erhältst :-) |
Evon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 11:46: |
|
vgl. auch http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/infoboerse/wwwboard/messages/324.html
|
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 14:17: |
|
Also wenn ich sowas schon wieder lese, dann frage ich mich, was der Mathe-Wettbewerb eigentlich soll, wenn sich leute einfach die Ergebnisse aus dem internet holen.
Hier im Forum wurde ja auch oft genug danach gefragt...
MfG
C. Schmidt
|
TS
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 22:17: |
|
Stimme dir zu, aber ich würde deshalb nicht den Wettbewerb in Frage stellen. Leute, die mit allen (auch unerlaubten) Mitteln den Erfolg suchen gibt es überall. Das dann als "Hausaufgabe" zu verkaufen ist schon etwas dreist. Falls die Methode zum Erfolg führt, wünsche ich denjenigen, dass sie in der nächsten Runde jämmerlich eingehen...
Grüße,
Thomas |
|
