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Cjaeger (Cjaeger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Cjaeger
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 05-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2006 - 10:48: | 
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könnt ihr mir helfen?
Es waren einmal zehn völlig gleiche Geldbeutel, und in jedem Beutel waren zehn Münzen von gleichem Wert. Von außen waren die Münzen nicht voneinander zu unterscheiden. Einer der Beutel enthielt aber lauter falsche Münzen. Es ist bekannt, dass jede Münze eine ganze Anzahl Gramm wiegt und jede falsche 0,1 Gramm schwerer ist. Wie kann man mit einer einzigen Wägung den Beutel mit den falschen Münzen herausfinden?
a) mit einer Balkenwaage
b) mit einer Digitalwaage |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 1018
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2006 - 13:30: |
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Hi!
Zum Thema Digitalwaage:
Es steht zwar nicht ausdrücklich in der Aufgabenstellung, aber wir müssen die Beutel schon öffnen dürfen, um Münzen zu entnehmen (anders als bei der Aufgabe mit unterschiedlich schweren Kugeln...).
Also nummerieren wir mal die Beutel durch von 1 bis 10. Aus jedem Beutel nehmen wir die darauf stehende Anzahl von Münzen und legen sie gemeinsam auf die Waage.
Nun schauen wir uns die Nachkommastelle des Gewichts an: Sie entspricht der gesuchten Beutelnummer (wobei 0 hinter dem Komma für Beutel 10 steht).
Wie das kommt? Das findest du bestimmt heraus...
Gruß
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 1019
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2006 - 13:37: |
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Ist es sicher, dass die Aufgabe mit einer Balkenwaage mit nur einer Wägung lösbar ist?
Ich habe hier nur 3 mögliche Ausgänge (schwerer, leichter, gleich), während ich bei der Digitalwaage meine 10 möglichen Nachkommastellen hatte...
Na ja, vielleicht fällt mir ja noch etwas ein...
Gruß
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 1020
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2006 - 14:53: |
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Hi!
Mir ist doch etwas eingefallen:
Die Aufgabe lässt sich lösen, wenn man die Massenverteilung der Waagenkonstruktion bei der Betrachtung berücksichtigt. Hierzu ein Bild:
Mit Rot sind die Schwerpunkte der drei Massen markiert. Dabei sind m1 und m2 unsere zu vergleichenden Massen und m3 die Masse der Konstruktion.
Nehmen wir für den Auslenkungswinkel a den mathematischen Drehsinn an, dann gilt für das Drehmomentengleichgewicht:
m1*a*cos a = m2*a*cos a + m3*b*sin a
Stellen wir das Ganze etwas um, dann erhalten wir:
(m1-m2)*a*cos a = m3*b*sin a
Und schließlich:
m1-m2 = m3*b/a*sin a / cos a = m3*b/a * tan a
Somit können wir zumindest die Massendifferenz von linker und rechter Waagschale bestimmen.
Nun verteilen wir wie bei der Digitalwaage wieder die entsprechende Anzahl der Münzen auf die Waagschalen, diesmal aber: Die 1-5 Münzen aus den ersten fünf Beuteln nach rechts, die restlichen 6-10 Münzen nach links.
Da wir nun die Differenz der beiden Waagschalen betrachten, müssen wir die absolute Differenz zu der Differenz betrachten, die wir hätten, wenn alle Münzen ok wären:
ideale Differenz: 10+9+8+7+6-5-4-3-2-1 = 25
Sind die falschen Münzen links, so erhalten wir eine Differenz aus dem Bereich 25,6 bis 26,0 -> Nachkommastelle ergibt den Beutel.
Sind die falschen Münzen rechts, so erhalten wir eine Differenz aus dem Bereich 24,5 bis 24,9. Hier müssen wir die Nachkommastelle von 1 abziehen, um die Beutelnummer zu erhalten.
Zusammengefasst:
beutelNr = |m1-m2-25|
Gruß
Martin
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Galileo Galilei
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