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geometrisches Mittel

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Kay_s (Kay_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 12:37:   Beitrag drucken

Sei xn eine Folge reeller Zufallszahlen aus dem Intervall ]0,1[.
Bildet man nun das arithmetische Mittel AM(xk) der ersten k Zahlen, so gilt nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit

AM(xk) -> 0,5 für k -> oo

Was gilt nun aber für das geometrische Mittel GM(xk), falls k gegen oo geht?
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Kläusle (Kläusle)
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Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 508
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:14:   Beitrag drucken

Mein Tipp lautet

0,5

einen Beweis habe ich aber nicht
MfG Klaus
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Kay_s (Kay_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 23:48:   Beitrag drucken

Hmmm, 0,5 kann eigentlich nicht sein:

Zumindest für jeweils endlich viele Werte kann das GM nur dann mit dem AM übereinstimmen, wenn alle Werte identisch sind, ansonsten ist es echt kleiner.

Da xn nicht gegen 0,5 konvergiert, gilt dies wohl auch für deren Grenzwerte...
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Murray (Murray)
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Benutzername: Murray

Nummer des Beitrags: 231
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 07:36:   Beitrag drucken

Noch ein Schnellschuß:

Es geht gegen 0.

Wie komme ich drauf?
Zitat: "das geometrische Mittel entspricht der n-ten Wurzel aus dem Produkt aller Werte"

Wenn man zwei Zahlen aus dem Intervall ]0,1[ miteinander multipliziert, dann ist das Ergebnis ja noch kleiner. Und wenn man dann noch die n-te Wurzel zieht, dann wird das noch kleiner.

Also erstmal stellt man die Zahlen doch anders dar:
Eine Zahl im Intervall ]0,1[ kann man auch darstellen als 1/n mit n > 1 und n Element von R.

(Hoffentlich interpretiere ich die Klammern richtig als "ausschließlich)

Es reicht also zu zeigen das das Produkt aus unendlich vielen 1/n gegen 0 geht - was IMHO nicht schwer abzusehen ist. Die Geschichte mit der Wurzel kann man gewissermaßen vernachlässigen (Wurzel(0) = 0 ).

Onkel Murray
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Murray (Murray)
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Benutzername: Murray

Nummer des Beitrags: 232
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 07:46:   Beitrag drucken

lim Pi®¥ 1/ni = 1/(n1*n2*n3*...*ni-1*ni) = 1/¥ (wegen i®¥ und n > 1) = 0

Onkel Murray
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Kay_s (Kay_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 10:38:   Beitrag drucken

Wieso kann man die Wurzel vernachlässigen?

Man zieht ja nicht aus i Werten eine Wurzel mit konstantem Grad n, sondern mit Grad i (und i erhöht sich fortlaufend).
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Murray (Murray)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Murray

Nummer des Beitrags: 233
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 11:28:   Beitrag drucken

Naja, eben ein Schnellschuß.

Im Prinzip kann man das Problem also reduzieren auf:

limi®¥ = (n1*...*ni)1/i für n > 1

Allerdings muß ich gestehen hier bin ich ratlos.

Onkel Murray
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 263
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 20:00:   Beitrag drucken

kleiner Tipp:
Wenn man einen log anwendet ist man wieder beim arithmetischen Mittel. Man muss nur dran denken, die Gleichverteilung auf ]0,1[ (steht allerdings nur implizit in der Aufgabe drin) mit zu transformieren und dann kann man von der Verteilung den Erwartungswert berechnen.
Die Wurzel aus einer Zahl aus ]0,1[ ist übrigens größer als die Zahl selbst !

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