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Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 121 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 12:37: |
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Sei xn eine Folge reeller Zufallszahlen aus dem Intervall ]0,1[. Bildet man nun das arithmetische Mittel AM(xk) der ersten k Zahlen, so gilt nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit AM(xk) -> 0,5 für k -> oo Was gilt nun aber für das geometrische Mittel GM(xk), falls k gegen oo geht? |
Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 508 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:14: |
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Mein Tipp lautet 0,5 einen Beweis habe ich aber nicht MfG Klaus
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Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 122 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 23:48: |
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Hmmm, 0,5 kann eigentlich nicht sein: Zumindest für jeweils endlich viele Werte kann das GM nur dann mit dem AM übereinstimmen, wenn alle Werte identisch sind, ansonsten ist es echt kleiner. Da xn nicht gegen 0,5 konvergiert, gilt dies wohl auch für deren Grenzwerte... |
Murray (Murray)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Murray
Nummer des Beitrags: 231 Registriert: 10-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 07:36: |
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Noch ein Schnellschuß: Es geht gegen 0. Wie komme ich drauf? Zitat: "das geometrische Mittel entspricht der n-ten Wurzel aus dem Produkt aller Werte" Wenn man zwei Zahlen aus dem Intervall ]0,1[ miteinander multipliziert, dann ist das Ergebnis ja noch kleiner. Und wenn man dann noch die n-te Wurzel zieht, dann wird das noch kleiner. Also erstmal stellt man die Zahlen doch anders dar: Eine Zahl im Intervall ]0,1[ kann man auch darstellen als 1/n mit n > 1 und n Element von R. (Hoffentlich interpretiere ich die Klammern richtig als "ausschließlich) Es reicht also zu zeigen das das Produkt aus unendlich vielen 1/n gegen 0 geht - was IMHO nicht schwer abzusehen ist. Die Geschichte mit der Wurzel kann man gewissermaßen vernachlässigen (Wurzel(0) = 0 ). Onkel Murray
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Murray (Murray)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Murray
Nummer des Beitrags: 232 Registriert: 10-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 07:46: |
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lim Pi®¥ 1/ni = 1/(n1*n2*n3*...*ni-1*ni) = 1/¥ (wegen i®¥ und n > 1) = 0 Onkel Murray |
Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 123 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 10:38: |
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Wieso kann man die Wurzel vernachlässigen? Man zieht ja nicht aus i Werten eine Wurzel mit konstantem Grad n, sondern mit Grad i (und i erhöht sich fortlaufend).
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Murray (Murray)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Murray
Nummer des Beitrags: 233 Registriert: 10-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 11:28: |
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Naja, eben ein Schnellschuß. Im Prinzip kann man das Problem also reduzieren auf: limi®¥ = (n1*...*ni)1/i für n > 1 Allerdings muß ich gestehen hier bin ich ratlos. Onkel Murray |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 263 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 20:00: |
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kleiner Tipp: Wenn man einen log anwendet ist man wieder beim arithmetischen Mittel. Man muss nur dran denken, die Gleichverteilung auf ]0,1[ (steht allerdings nur implizit in der Aufgabe drin) mit zu transformieren und dann kann man von der Verteilung den Erwartungswert berechnen. Die Wurzel aus einer Zahl aus ]0,1[ ist übrigens größer als die Zahl selbst ! |