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Beitrag |
    
Slaven
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 14:49: | 
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Hallo
Müsste das richtige 'Unter-Forum' sein.
Also...
Angenommen ich habe ein dreieckige Pyramide aus 0,5l Dosen. Sie ist aufgebaut und kann auch nicht so schnell abgebaut werden ;). Die oberste Ebene besteht aus einer Dose, die zweite aus drei. Meine Frage ist jetzt ist, ob ich die unteren Ebenen möglichts schnell berechnen kann. Dazu müsste die "Seitenanzahl" doch reichen, oder?
Falls das Problem irgendwie unverständlich ist, sagt es nur ;)
Slaven |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 19:12: |
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Ich verstehe das so:
Du willst ausrechnen, wie viele Dosen sich in der n-ten Ebene (von oben aus) befinden.
1. Ebene: 1 Dose
2. Ebene: 3 Dosen
3. Ebene: 6 Dosen
4. Ebene: 10 Dosen
etc.
2. Ebene - 1. Ebene: 2 Dosen
3. Ebene - 2. Ebene: 3 Dosen
4. Ebene - 3. Ebene: 4 Dosen
etc.
Man sieht, dass pro Ebene die von dir so genannte "Seitenanzahl" n dazukommt. Also haben wir in der n-ten Ebene die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, also n(n+1)/2 Dosen.
Das testen wir mal:
1. Ebene: 1(1+1)/2=1 Dose -> stimmt
2. Ebene: 2(2+1)/2=3 Dosen -> stimmt
3. Ebene: 3(3+1)/2=6 Dosen -> stimmt
4. Ebene: 4(4+1)/2=10 Dosen -> stimmt
etc.
Unter der Voraussetung, dass ich nicht wieder etwas missverstanden habe, müsste das die Lösung sein. |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 19:27: |
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Richtig interessant wird es, wenn du die Summe der ersten n Schichten ausrechnen willst:
1 Schicht: 1 Dose
2 Schichten: 4 Dosen
3 Schichten: 10 Dosen
4 Schichten: 20 Dosen
etc.
Oder betrachte das Problem doch mal mit quadratischer Basis (oder fünfeckiger Basis etc...) |
Slaven
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 16:34: |
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Danke dir!
Das ist es, was ich wissen wollte. Nur noch eine Frage (mich interessiert alles  . Wie genau kommt man an die Formel n(n+1)/2? Ist das eine Standardformel oder kann man die irgendwie ableiten. Bei deiner Erklärung, fehlt mich noch das '/2'.
Danke noch einmal
Slaven
P.S.: Es sind übrigens 883 Dosen *gg* |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 20:28: |
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Die Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen kann man leicht herleiten:
Betrachten wir zwei Fälle:
n ist gerade -> Sg(n) = Summe der ersten...
n ist ungerade -> Su(n) = Summe der ersten...
Ist n gerade, dann addieren wir die erste mit der letzten Zahl, die zweite mit der zweitletzten usw., bis wir in der Mitte ankommen. Also erhalten wir:
Sg(n) = (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + ... + (n/2+n/2+1)
= (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
Das heißt, wir erhalten Sg(n), wenn wir (n+1) wie oft addieren? Richtig! (n/2)-mal, denn wir nehmen ja jedesmal zwei Zahlen zusammen und erhalten auf diese Weise halb so viele Summanden.
Also haben wir die Formel für gerade n:
Sg(n) = (n/2)*(n+1) = n(n+1)/2
Nun soll n ungerade sein:
Auch hier nehmen wir immer die beiden äußersten Zahlen und addieren, allerdings diesmal ((n-1)/2)-mal, denn in der Mitte haben wir einen einzelnen Summanden übriggelassen (weil n ungerade). Sein Wert ist gerade mal gleich dem Mittel der ersten und der letzten Zahl (weil in der Mitte), also: (n+1)/2.
Fassen wir also alles zusammen:
Su(n) = ((n-1)/2)*(n+1) + (n+1)/2
= (n+1)(n-1)/2 + (n+1)/2
= (n+1)[(n-1)+1]/2
= (n+1)*n/2 = n(n+1)/2
Und: Oh Wunder! Sg(n) und Su(n) stimmen überein, so dass man nur noch eine Formel hat:
S(n) = Sg(n) = Su(n) = n(n+1)/2
Ich hoffe, ich konnte das einigermaßen klar machen. Sieht vielleicht nicht so toll aus, aber wird schon verständlich sein, oder?
Bei Fragen bin ich gern dabei!
Dann viel Spaß mit den Dosen und so... |
Murray (Murray)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 09:28: |
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Hallo,
wenn ich mich richtig erinnere ist diese Formel als "Gaußsche Summenformel" in der Literatur zu finden.
Murray |
DAS_GEHT_EINFACHER
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 23:36: |
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Hallo Martin !
Warum so umständlich für die Summenformel ? Egal, ob n gerade oder ungerade ist, es gilt:
1 + 2 + 3 +... + n = :x (die Summe
der ersten n Zahlen
sei x). Schreibe
die Summe rückwärts
auf:
n +(n-1) +(n-2)+...+ 1 =x nach Definition.
__________________________________________
Addition der beiden Zeilen folgt direkt:
(n+1) kommt n * vor ( (n+1)+(2+n-1)+(3+n-2)+....
und ist gleich 2*x (bzw. x+x)
Also gilt 2*x=n*(n+1)
<=> Behauptung !!!
Interessanter wirds bei :
a0*x^0+a1*x^1+a2*x^2+...+an*x^n=:z.
Geht aber fast genauso.
Multipliziere mit x und bilde die Differenz zx-x=x(z-1).
Du erhältst die geometrische Summenformel...
Fallunterscheiden können bei gewissen Azfgaben sehr mühselig werden, immer versuchen, sie zu vermeiden....
Nur wenn einem nix besseres einfällt, benutzen...
Denke, dieses Verfahren ist leichter zu behalten als Fallunterscheidungen...
Obwohl, letztendlich kann sich Slaven ja das bessere aussuchen !
Ansonsten
Viel Spass |
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