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GEOMETRISCHES PROBLEM

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Jonas Rohde (das_brot)
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Benutzername: das_brot

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 16:02:   Beitrag drucken

ich bräuchte mal eure hilfe, es geht um eine eins im zeugnis! ich hoffe, ich kann die aufgabe gut erklären, wenn ihr`s nicht versteht, dann versuche ich, die hier einzuscannen.

also: gegeben ist ein "kirchenfenster" mit einer geraden basis und 2 bögen, die sich in einer spitze schneiden. auf der basis befinden sich 2 halbkreise nebeneinander , die die bögen und sich selber genau einmal berühren.nun soll über diesen 2 halbkreisen ein kreis konstruirt werden, welcher die bögen und die halbkreise genau einmal schneidet. der radius des kreises muss also herausgefunden werden.

ich hoffe, ihr könnt damit etwas anfangen!!!
danke im vorraus.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 744
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 17:15:   Beitrag drucken

????
b1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jonas Rohde (das_brot)
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Benutzername: das_brot

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 19:15:   Beitrag drucken

also, die zeichnung ist fast richtig.
nur kommt unter der gerade nichts mehr und der zu konstruirende kreis muss auch innerhalb des fensters bleiben.ich hoffe, sie können jetzt halbwegs erschliessen, was ich meine. danke für ihre mühe!
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 748
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 22:05:   Beitrag drucken

dann muß die Symetrale des Fensters mit einer Elipse geschnitten
werden,
deren Brennpunkte z.B. der rechte Randpunkt(= Mittelpunkt des
linken Spitzbogenteils l, Radius R) und der Mittelpunkt des linken Halbkreises h,
Radius r
sind.
Denn der Ort aller Punkte, die von ( so liegenden ) 2 Kreisen l,h gleichen Abstand d haben,
für den ist die Summe der Abstände von den Kreismittelpunkten (R-d)+(r+d) = R+r, also
konstant.
Um den Abstand von der Fensterbasis, des Schnittpunkts der Ellipse mit
der
Geraden zu finden,
muß des des Schnittpunkts mit Kreis r=a (Hauptachse der Ellipse) um den El.Mittelpunkt,
entsprechend b/a veringert werden ( b = Nebenachse der Ellipse ).
[
affine Transformation
]

Diese Schnittpunkt ist dann Mittelpunkt des fehlenden Kreises.

Die Ellipse selbst muß dazu nich gezeichnet werden.
R+r = 2a -> Haupscheitel,
von
den Brennpunkten Zirkelschlag mit r=a mit Normale auf Ell.Mitt.p. schneiden -> Nebenscheitel -> b;

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 749
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 09:38:   Beitrag drucken

hierein Bild dazu.
N: Nebenscheitel der Ellipse e Mk: gesuchter Kreismittelpunkt
Me: Mittelpunkt der e Fi: i=1,2: Brennpunkte der e

F2 ist Mittelpunkt des linken Bogens des Spitzbogenfensters
F1 ist Mittelpunkt des linken Halbkreises.

KONSTRUKTION
Me: Mitte F1F2
violetter Kreis h:
Haupscheitelkreis der e
N : Schnitt Kreis, r=a um F1
mit Normaler auf a durch Me
s : Streckenlänge der Fenster-Symetrale
von F1F2 bis Schnitt mit
Haupscheitelkreis
rechter Bildteil: Konstruktion der Streckenlänge s*b/a
durch ähnliche 3ecke
das ergibt dann Mk

die übliche "Affinitätskonstruktion" für Mk
wäre zwar,
die Verbindungsgerade v der Schnittpunkte
der
"Geraden" s und b mit dem Haupscheitelkreis
mit der
Hauptachse der e zu schneiden -> Punkt A
und
dann s mit der Verbindungsgeraden AN -> Mk
aber
da hier fast a = b wäre die v fast parallel zu a


Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jonas Rohde (das_brot)
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Benutzername: das_brot

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 19:38:   Beitrag drucken

erstmal vielen vielen dank für diese schnelle und konkrete antwort! wenn ich noch fragen habe, dann werde ich die hier nochmal stellen. wenn alles gut klappt verdanke ich ihnen eine 1 im zeugnis, danke!!!
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Jonas Rohde (das_brot)
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Benutzername: das_brot

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 13:31:   Beitrag drucken

eine frage hätte ich noch! die genaue frage war ja der radius des kreises. gibt es da nicht eine feste zahl x, die immer passt? ich habe auch von einer bekannten gehört, dass es auch ein ergebnis wie 10/3 gibt, welches auf alle kreise passt. also eine feststehende zahl wie die bei der berechnung der höhe eines dreieckes, oder so.
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heimdall (gjallar)
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Nummer des Beitrags: 26
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 14:32:   Beitrag drucken

Hallo Jonas,

du meinst wahrscheinlich 3/10 * r ; das erhält man z.B. so:

Fenster

Wenn sich zwei Kreise berühren, liegen die Mittelpunkte und der Berührungspunkt auf einer Geraden. Im Bild: Berührungspunkt E liegt auf BM, der gesuchte Mittelpunkt M liegt auf DF.

Im rechtwinkligen Dreieck BCM gilt: CM² = BM² - BC²
Im rechtwinkligen Dreieck CDM gilt: CM² = DM² - CD²
Sei x der gesuchte Radius (EM bzw. FM) und r = AD der Bogenradius.
Dann ist BM = r/4 + x , BC = r/4 , DM = r - x , CD = r/2.
Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für CM² folgt
(r/4 + x)² - (r/4)² = (r - x)² - (r/2)²

Daraus ergibt sich der gesuchte Radius: x = 3/10 * r


Gruß,
Gjallar
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Jonas Rohde (das_brot)
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Benutzername: das_brot

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 15:15:   Beitrag drucken

auch dir danke für die gute antwort. nun müsste ich nur noch wissen, wie man das ganze beweisen kann, was du geschrieben hast.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 758
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 17:17:   Beitrag drucken

da ist nicht mehr viel zu beweisen, nur noch die
quadratische Gleichung zu lösen, die sich sogar
schmerzlos in eine lineare umformen läßt

(r/4 + x)²-(r - x)² = (r/4)² - (r/2)²

[(r/4 + x)+(r - x)][r/4 + x)-(r - x)] = (3r/4)(-r/4)
(5r/4)(-3r/4 + 2x) = -3r²/4
5(2x - 3r/4) = -3r
10x = 12r/4 = 3r .

Heimdalls Ansatz funktioniert auch wenn der Spitzbogen spitzer ist, D auf der Linie ABC also
weiter rechts liegt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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