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Beitrag |
    
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 01:01: | 
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Hallo,
Ist zwar wieder kein Rätsel, das heißt, mir gibt es schon eins auf,
Fragen stellen ist ja immer leichter als passende Antworten geben.
Ich habe mich wieder mal für das leichtere entschieden:
(Vorweg: PyT=Pythagoreisches Zahlentripel; alle Zahlen, von denen
hier die Rede ist, sollen natürliche Zahlen sein)
Zu einer gegebenen ungeraden Zahl x passende Zahlen y und z suchen ist ja leicht:
wähle y=(x²-1)/2, dann ist y²=(x4-2x²+1)/4 und damit ist
x² + y² = x² + x4/4 -x²/2 + ¼ = x4/4 +x²/2 + ¼ = ¼(x²+1)² = ((x²+1)/2)² = z²
ebenfalls ganzzahlig.
Also ist jede Zahl außer x=2 eine "Kathetenzahl", denn die gerade Zahl 4
erfüllt die Gleichung 4²+3²=5², 6 ist als Vielfaches von 3 sowieso
Angehörige eines PyT und ebenso sind alle weiteren geraden Zahlen
ebenfalls Vielfache von 4 oder einer ungeraden Zahl und damit "Kathetenzahlen".
Bezeichnung: "x ist Kathetenzahl" soll heißen, man kann ein rechtw. Dreieck
finden, dessen eine Kathete x ist und dessen andere Seiten ganzzahlige Längen haben.
Wie sieht es aber mit den Zahlen aus, die der Länge der Hypotenuse entsprechen?
Gibt es eigentlich eine allgemeine Formel zur Berechnung derjenigen Zahlen z,
die Lösung der Gleichung x²+y²=z² sind, also derjenigen Zahlen,
die der Länge der Hypotenuse entsprechen?
Also sozusagen Hypotenusenzahlen?
Unter den Zahlen 2 bis 40 sind lediglich 2, 5, 10, 13, 15, 17, 20, 25,
26, 29, 30, 34, 35, 37, 39 und 40 als Länge einer Hypotenuse zugelassen.
Gibt es da einen Bestimmungsterm, der diese "Hypotenusenzahlen" "ausspuckt"?
Oder eben alternativ einen Term für alle Zahlen, die nicht der Länge der
Hypotenuse entsprechen können: also (1)(naja), 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16,
18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 36, 38, ...? |
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 01:10: |
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Sorry, die 2 war ein Denkfehler (1²+1²=2), die kann natürlich nicht Länge einer Hypotenuse sein. |
superknowa
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 04:00: |
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Ja, solch einen "Bestimmungsterm" gibt es; ist aber zu spät; vielleicht morgen.
cu
superknowa |
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 22:17: |
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Weiß jemand, wo ich diesen Term finden kann? |
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 05:39: |
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Hi Constantin,
Guck hier mal nach...
Gruß, Xell |
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 05:44: |
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Noch was: Wenn du etwas mehr Einblick willst, kannst du
dir auch das hier runterladen...
Dort wird die Gleichung a^n+b^n=c^n auf ganzzahlige Lösungen
untersucht, nicht nur für den Spezialfall n=2 ! |
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 00:15: |
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Hallo Xell,
Danke für die Links.
Im ersten Link steht, dass das z, wofür ich mich interessiere, durch z= n²+m² gebildet wird, aber nur, wenn es mit den x und y (für die gilt: x²+y²=z²) teilerfremd ist.
Mein Problem ist:
wie bekomme ich da eine sinnvolle Reihenfolge hinein, so dass die Zahlen für z aufsteigend geordnet werden können? Und wie ergänzt man dann alle fehlenden, nicht teilerfremden, z.B. z=10 und z=15?
Hinter dem zweiten Link bin ich auf den Seiten 2 und 3 nicht fündig geworden, habe ich da was übersehen?
Gruß Constantin |
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 00:07: |
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Hat jemand noch einen Hinweis?
Auf den Term bin ich noch nicht gekommen. |
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 20:23: |
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Hi Constantin,
Die nicht teilerfremden z ergeben sich durch Multiplikation
der teilerfremden mit ganzzahligen Vielfachen, es gilt:
(ka)²+(kb)²=(kc)², daher erhält man etwa z=10 und z=15 durch
das teilerfremde Tripel (3,4,5) durch Multiplikation mit 2
bzw. 3, also etwa
3²+4²=5² => 2²3²+2²4²=5²2² <=> 6²+8²=10
Somit findet man also sämtliche pyth. Tripel.
Oben auf Seite 2 der *.pdf-Datei sollte sich ähnliches finden.
Grüße, Xell |
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 01:41: |
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Hallo Xell, danke für deine Mühe, ich weiß nicht, ob du mich richtig verstehst.
Dass ich das nicht weiß, weiß ich daher, dass ich nicht verstehe, was du meinst.
Ich versuche meine Frage mal mit einem Beispiel auszudrücken:
Der Term n²-n+41 liefert alle Primzahlen von 38 bis 58. (Ja ich weiß, schlechtes Beispiel, das sind ja nicht besonders viele Primzahlen)
Ich möchte also wissen, ob es einen Term gibt (superknowa sagt ja, es gibt einen), und wo man den finden kann.
Also einen, der nicht bloß wie der obige Primzahlterm einige ausgewählte Primzahlen ausspuckt, sondern einen Term, der am besten alle "Hypotenusenzahlen" ausspuckt.
Also einen, der die Folge 5,10,13,15,17,20,25,26,29,30,34,35,37,39,40,41,45,50,51,52,53,55,58,60,61,65,68,70,73,74,75,78,80,82,85,
87,89,90,91,95,97,100,101,102,104,105,106,109,110,111,113,115,116,117,119,120,122,123,125,...
am besten lückenlos wiedergibt.
Eben einen Folgenausdruck an=Funktion(n) mit
a1=5
a2=10
a3=13
... |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 16:58: |
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Hi Constantin,
Gesucht sind alle Zahlen, die nicht Vielfache von z²=a²+b² sind.
Es gibt einen Satz (m.E. bewiesen von Euler oder Fermat), der besagt, dass
sich jede Primzahl p der Form p=4n+1; n aus IN als Summe zweier
Quadratzahlen darstellen lässt, also:
p=a²+b², diese sind also
stets Hypotenusenzahlen, ferner auch alle natürlichen Vielfachen
dieser. Alle Hypotenusenzahlen erhält man also über die Bestimmung
der Primzahlen p=4n+1.
Betrachten wir die Zahlen, die keine Hypotenusenzahlen sein können:
Dies sind alle Zahlen, die kein Vielfaches einer Primzahl p=4n+1 sind,
folglich müssen sie selbst prim sein, oder ein Vielfaches einer Primzahl.
Da sie nicht aufgeführt sind, müssen sie Primzahlen der Form 4n+3
oder deren Vielfache sein. Außerdem sind 1,2,3 und deren Potenzen bzw.
Produkte, die aus ihnen gebildet werden können, keine Hyp.-Zahlen.
Grüße, Xell |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 17:24: |
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Nachtrag: Um meine Ausführungen zu beweisen, muss gezeigt werden, dass
genau die Zahlen z=k*p; p aus p, p=4n+1, k aus IN Hyp.-Zahlen sind.
Dies hat man gezeigt, wenn man
1.) Beweist, dass sämtliche Zahlen z=k*p in der Folge enthalten sind und
2.) Zeigen kann, dass sonst keine Zahlen darin enthalten sind.
1.) beweist der Satz von Euler und 2.) beweisen wir auch mit Euler;
ich zitiere: "He proved another of Fermat's assertions, namely that if a and b are coprime then a² + b² has no divisor of the form 4n - 1, in 1749."
Primzahlen der Form 4n+3 können also keine Hyp.-Zahlen sein.
Damit dürfte der Beweis fertig sein !?
Grüße nochmals, Xell |
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 01:17: |
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Hallo Xell,
wenn man mal vom Beweis der beiden Sätze von Euler absieht,
beinahe alles verständlich (coprime heißt teilerfremd, ja?),
nur am Rand mal bemerkt:
Dein Satz "folglich müssen sie selbst prim sein, oder ein Vielfaches einer Primzahl" ist mir etwas zu allgemein. (Kann man den weglassen?)
Ist eine Zahl nicht immer eines von beiden?
Vielen Dank nochmal für die Links, werde mich dort langsam durchwühlen...
Viele Grüße
Constantin |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 18:53: |
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Hi Constantin,
coprime heißt meines Wissens teilerfremd.
Gemeint war eher: "Folglich müssen sie beide Primzahlen der Form
p=4n+3 oder Vielfache derer sein."
Es ging darum, klarzustellen, dass sie von der speziellen Form
sein müssen.
Hast du schon daran gedacht, das Ganze in einem entsprechenden
Algorithmus umzusetzen ?
Grüße, Xell |
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