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Beitrag |
    
Frank Buchholz (Buchholzf)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 16:16: | 
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Habe die Geschichte neulich über jemanden von der Uni Karlsruhe bekommen und lange darüber gegrübelt:
--- Geschichte Anfang ---
Drei gute alte Mathematik-Studienfreunde (allesamt heute angesehene Professoren, die ihr Fach *perfekt* beherrschen und die außerdem immer ehrlich sind und nie lügen) treffen sich nach langer Zeit mal wieder und sprechen über die guten
alten Zeiten und alles mögliche. Da aber Mathematiker bekanntermaßen ihrem Fach leidenschaftlich verbunden sind, kommt das Gespräch natürlich nach einiger Zeit wieder auf
das Thema Mathematik zurück:
Der dritte Mathematiker sagt zu den anderen beiden: "Hört mal her! Ich habe mir gerade zwei ganze Zahlen > 1 ausgedacht." Dann sagt er, den ersten Mathematiker anblickend: "Dir werde ich gleich das Produkt der beiden Zahlen nennen", und zum zweiten gewandt fährt er fort, "und dir die Summe." Daraufhin flüstert er dem ersten das Produkt und dem zweiten die Summe ins Ohr, so dass der jeweils andere es nicht hören kann.
"Welche beiden Zahlen habe ich mir wohl ausgedacht?", fragt der dritte Mathematiker die anderen beiden.
Daraufhin herrscht kurz Stille, denn weder dem ersten noch dem zweiten Mathematiker ist es möglich, mit der ihnen jeweils vorliegenden Information eine eindeutige Antwort zu
geben.
Schließlich sagt der erste Mathematiker zum dritten: "Also ich weiß nicht welche beiden Zahlen du dir ausgedacht hast."
Daraufhin sagt der zweite Mathematiker zum ersten: "Das war mir klar dass du das nicht weißt."
"Tatsächlich? Dann weiß ich jetzt welche beiden Zahlen es sind!", ruft der erste Mathematiker.
"Ah, dann weiß ich es jetzt auch!", ruft der zweite Mathematiker.
Natürlich haben beide Mathematiker recht und wissen jetzt tatsächlich die richtigen Zahlen, denn schließlich beherrschen sie ja, wie oben bemerkt, ihr Fach perfekt.
--- Geschichte Ende ---
So liebe(r) Rätselfreund(in)!
Nach dieser Geschichte über ein Rätsel unter Mathematikern jetzt die Rätselfrage für dich:
"WELCHE BEIDEN ZAHLEN HAT SICH DER DRITTE MATHEMATIKER AUSGEDACHT?"
Finde eine mögliche richtige Antwort auf diese Frage!
(Es ist nicht gefordert zu beweisen, ob dies die einzige richtige Antwort ist oder ob es noch weitere Möglichkeiten gibt.) |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 18:09: |
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Schließlich sagt der erste Mathematiker zum dritten: "Also ich weiß nicht welche beiden Zahlen du dir ausgedacht hast."
Der erste "weiß" die 2 Zahlen genau dann, wenn das Produkt entweder von der Form p*q oder p^2 oder p^3 mit p,q verschiedene Primzahlen (lässt sich leicht nachweisen, man darf nur nicht vergessen das keine der gedachten Zahlen 1 ist).
Diese Fälle scheiden also aus.
'Daraufhin sagt der zweite Mathematiker zum ersten: "Das war mir klar dass du das nicht weißt."'
Er schließt also mit Hilfe der Summe, dass das Produkt nicht p*q,p^2,p^3 ist.
Ist die Summe gerade, lässt sie sich als p+q darstellen (wenn Goldbach Theorem stimmt). Diesen Fall kann man also ausschließen, vorausgesetz der erste hat sich nicht überdimensional große Zahlen ausgedacht.
also Summe ungerade; weiter kann man zunächst nicht mehr einschränken, denn p+p und p^2 + p sind gerade.
Diese Überlegung hat hoffentlich auch der erste angestellt und weiß damit, dass eine Zahl gerade die andere ungerade ist und mehr aber nicht.
"Tatsächlich? Dann weiß ich jetzt welche beiden Zahlen es sind!", ruft der erste Mathematiker
also mit Hilfe dieser Überlegung kann auf die Zahlen schließen.
hm naja, 2^k und r mit k>1 (denn Produkt ist nicht p*q), mehr kommt da nicht mehr in Frage.
(r prim) [ungerade primzahl muss dabei sein (eine zahl ungerade), >=3 verschiedene Primzahlen kann er diesen Schluss nicht mehr anstellen, 2 muss dabei sein (eine zahl gerade) ]
"Ah, dann weiß ich es jetzt auch!", ruft der zweite Mathematiker
Der zweite hat sich auch überlegt, dass für die 2 Zahlen nur noch 2^k und r in Frage kommt.
Gilt k=2 und r=3
also 4 und 3, 4+3=7;
kann dieser zweite nur von 7 ausgehend auf 4 und 3 kommen, da es nur ein Zahlenpaar (k,r) gibt mit 2^k + r = 7;
so:
jetzt wählen wir mal k=2 und r=5
also 2^2 + 5 = 9; hm auch eindeutig
(4,3), (4,5) scheinen beide zu klappen
????
!!!wo hab ich einen Fehler gemacht oder gibts tatsächlich mehrere?!!!
4*3 = 2*6; 4*5 = 2*10;
4+3 = 7 und 4+5 = 9 nicht darstellbar als p+q,p+p,p^2+p
2*6,2*10 beide Faktoren gerade
2^2 + 3 = 7, 2^2 + 5 = 9 eindeutig |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 21:45: |
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Hi Carmichael,
ich glaube, das Problem ist noch 'n Stückerl komplizierter, denn beide Lösungen sind meiner Meinung nach falsch. Aber keine Anschuldigungen ohne Argumente:
Nehmen wir an, es seien die Zahlen 3 und 4.
Dann bekommt Professor 1 (P1) das Produkt 12, das er in 2*6 oder 3*4 zerlegen kann. Er weiß also nicht, was richtig ist.
Professor 2 (P2) bekäme dann die Summe 7, die er zerlegen kann in 2+5 oder 3+4. Auch er weiß nicht, was richtig ist. Er möchte aber erst wissen, ob P1 sein eigenes Problem lösen kann.
P2 denkt sich: Wenn ich die Summe 7 habe, dann hat P1 entweder das Produkt 2*5=10, das sich nur auf eine Weise zerlegen lässt (eindeutig), oder er hat das Produkt 3*4=12, das sich nicht eindeutig zerlegen lässt, denn es existiert ja noch das Zahlenpaar (2,6). Da ich aber nicht weiß, welches Produkt er nun hat, weiß ich auch nicht, ob er die Lösung weiß.
Da wäre seine Aussage: "Das war mir klar dass du das nicht weißt." eine Lüge. Und wir wissen, dass diese Herren nie lügen.
So ähnlich sieht es mit den Zahlen 4 und 5 aus.
P1 hat das Produkt 20=4*5=2*10, während P2 die Summe 9=2+7=3+6=4+5 hat.
Demnach überlegt sich P2 auch hier, welches Produkt P1 haben könnte: Es gibt die 3 Möglichkeiten 2*7=14 (eindeutig), 3*6=18=2*9 (nicht eindeutig) und 4*5=20=2*10 (nicht eindeutig). Er müsste also auch hier bei seiner Aussage "Das war mir klar dass du das nicht weißt." lügen.
Ich habe schon einige Zahlenpaare ausprobiert, aber je größer die Zahlen sind, desto komplizierter werden die Schlussfolgerungen der Profs. Ich glaube, das Problem wird mich noch etwas beschäftigen... |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 00:39: |
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hm, ja da hab ich einen Wurm drin gehabt, aber soweit ich das jetzt sehe nur bei dem Fall dass p*q ausgeschlossen werden muss und p oder q dabei
auch 2 sein kann. Hatte ich vergessen.
wie siehts mit 4 und 13 aus (4,13)?
2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9, alle uneindeutig
4*13=2*26; uneindeutig
Da P2 es klar war, dass P1 es nicht wissen kann, scheidet 2*26, da 2+26 gerade.
also weiß es damit P1 dass es (4,13) sein muss.
P2 weiß nun dass das Zahlenpaar die Form (2^k,r) mit r prim hat. (wie oben bereits erwähnt)
17=2+15=4+13=8+9;
15 und 9 sind nicht prim, also kann P2 folgern, dass es (4,13) sein muss.
Kannst du mir folgen, oder mach ich nen Denkfehler? |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 17:21: |
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Das wird wohl richtig sein. Ich habe diesmal keine Einwände! Cool! |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 21:05: |
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Ja, freut mich, dass du mir zustimmen kannst.
Wie ich es mir überlegt gäbe es aber mehrere Lösungen, nämlich
L= {(a,b)|a=2^k; b ungerade und prim; a+b-2^r nicht prim für alle r>0 und r!=k}
L sei Lösungsmenge aller ungeordneten Lösungspaare.
Insbesondere sind (4,13) und (16,13) Lösungen. |
Frank Buchholz (Buchholzf)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 09:24: |
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Hallo!
Ihr habt wirklich etwas drauf! Meine Lösungsweg ist nicht theoretisch sondern ein gigantisches Excel-Blatt bei einfach alles ausprobiert wird
(Alle Produkte <= 508).
Mit der (4,13) bin ich auch einverstanden. Bei der (13,16) gebe ich jedoch zu bedenken daß es zu 13*16=208 mit 13+16=29 auch die Möglichkeiten 4+25 mit 4*25=100 und 2+27 mit 2*27=54 gibt wobei bei beiden Fällen des Produkt wie auch die 208 eindeutig in eine gültige Summe zerlegbar wäre.
Damit gibt es also 3 Alternativen und somit keine Lösung.
Schönen Gruß
Frank |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 12:45: |
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Du hast recht, (16,13) ist natürlich keine Lösung.
Mein Problem war, dass ich den Fehler den ich zu Beginn drin hatte (p+q, auch 2+q möglich) nicht sauber ausgemerzt habe. Der erste kann aus der ersten Aussage des zweiten nämlich nicht nur schließen, dass die Summe ungerade ist, sondern auch, dass sie nicht von der Form 2+q mit q prim.
Meine Lösungsmenge ziehe ich hiermit auch zurück. Mit dieser neuen Bedingung ist eine parameterisierung der Lösung etwas schwierig, mit dem PC aber durchaus durchführbar. Vielleicht find ich ja mal Zeit, ein Proggy zu schreiben nach weiteren Lösungen zu suchen. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 22:10: |
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Hallo Leute
hab Maple bemüht, um alle Lösungen zu berechnen, deren Summe<100 ist:
[4, 13], [4, 61], [16, 73]
Übrigens: Carmichael, diese Lösungen sind zwar alle von der Form Zweierpotenz,Primzahl, das passiert jedoch erst durch das letzte Statement des zweiten Professors. Nur nach der zweiten Aussage des ersten Professors gibt sehr viele Lösungen, darunter auch einige, in denen drei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Auch ist dann (mit vierter(!) Potenz der 3) 16,81 eine Lösung. Und in der Lösung 40,61 ist die gerade Zahl keine reine Zweierpotenz. Andererseits gibt es in 4,55 in der ungeraden Zahl verschiedene Primfaktoren. Ich halte es eher für einen Zufall, dass in den endgültigen Lösungen nur die von Dir erwähnten Lösungen vorkommen.
viele Grüße
SpockGeiger |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 22:49: |
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Ließ mal was ich geschrieben hab:
"Meine Lösungsmenge ziehe ich hiermit auch zurück." wegen dem 2+p.. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 23:23: |
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Hallo Carmichael
Ich sehe leider nicht, was die Unmöglichkeit von p+2 damit zu tun hat, dass die Einschränkung 2^k,p zu grob ist. Hab daher gedacht, das zurückziehen würde sich nicht auf diesen Teil beziehen.
viele Grüße
SpockGeiger |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 23:36: |
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ok, verständlich
also ich versuchs am Bespiel 16,81 zu erklären:
allg: der erste Prof kann seine 2. Aussage deshalb machen, denn er weiß, dass eine Zahl ungerade und die andere gerade sen muss(sonst hätte ja der 2. prof seine aussage nicht machen können) UND er weiß, dass die Summe nicht 2+primzahl ist.
hier:
wegen eine zahl gerade und die andere ungerade kommen nur noch folgende in frage:
16,81
16*3,27 Summe: 16*3+27= 75;
16*9,9 Summe: 16*9+9 = 153;
16*27,3 Summe; 16*27+3 = 435;
nun ist aber 75 = 2 + 73 und 73 eine Primzahl, fällt also als Lösung weg
genauso 153 = 151 + 2, 151 prim
und 435 = 2 + 433, 433 prim
Es bleibt also nur noch 16,81 und damit kann der
erste prof seine 2. aussage machen.. |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 17:01: |
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So, heut hab ich mich rangemacht,auch ein Proggy zu schreiben (in Visual Basic).
Mein Programm spuckt für Summe<600 folgende Zahlenpaare aus:
(4,13) (4,61) (4,181)
(4,229) (8,239) (8,419)
(8,449) (13,256) (16,73)
(16,111) (16,163) (32,131)
(32,311) (64,73) (64,127)
(64,241) (71,512) (128,419)
(256,313)
Ich hoffe da sind keine bugs drin; vielleicht kannst du das mal überprüfen.
Im übrigen ist hier auch ein Paar dabei, welches nicht die Form (2^k,primzahl) hat, nämlich (16,111=3*37). |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 17:49: |
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hab auch Paare, bei denen keine Zweierpotenzen vorkommen:
(40,937) (201,556) (421,576) |
Henrik (Yleph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 12:35: |
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ist (2,6) nicht auch Lösung?
Prof1:
2*6=12=> 3*4 oder 2*6 => nicht eindeutig => Prof 1 weis nicht.
Prof2:
2+6=8 => 2+6, 3+5, 4+4 wäre (3,5) Lösung wüßte
das Prof1, aber auch 4*4 und 2*6 lassen sich nicht eindeutig zerlegen => Prof 2 weis nicht.
Prof1:
Prof 2 müßte falls (3,4) Lösung ist erkennen können was Lösung ist => Prof 1 kennt (2,6)
Prof2:
wäre (4,4) Lösung so wäre 4*4=16 zerlegbar in 2 * 8 und 4*4 und Prof 1 könnte aus dem Nichtwissen von Prof 2 weder das eine noch das andere schließen, da 2+8=10=>4+6,2+8 und 4+4=8=>2+6,4+4 beides nicht eindeutig => Prof 2 kennt (2,6) auch.
Hab ich 'nen Fehler?? |
Fireangel (Fireangel)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 13:00: |
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Ja, Henrik:
bei 3,4 ist die Summe 7. Wenn Prof 2 sie erhält, sind folgende Zerlegungen denkbar: 1,6 - 2,5 - 3,4
2,5 wäre als Produkt zu erkennen, käme also nach der ersten Aussage von Prof 1 nicht mehr in Frage, aber sowohl 1,6 wie auch 3,4 sind als Produkt nicht eindeutig:
6 = 1*6 = 2*3
12 = 2*6 = 3*4
Damit erkennt der Prof 2 bei 3,4 nicht sofort die Lösung nach der ersten Aussage des Prof 1 und dein dritter Absatz enthält den Fehler. |
Henrik (Yleph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 13:49: |
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aber beide zahlen sollen laut voraussetzung > 1 nicht >= 1 sein |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 16:55: |
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Daraufhin sagt der zweite Mathematiker zum ersten: "Das war mir klar dass du das nicht weißt."
P2 weiß also, sofort als ihm die Summe gesagt wurde, dass P1 mit Hilfe seines Produktes auf die Zahlen nicht schließen kann. (P2 weiß dies schon bevor P1 seine Aussage macht, ist ja klar, denn ansonsten hätte es wenig Sinn: Wenn P1 sagt er weiß die Zahlen nicht, weiß P2, dass er die Zahlen nicht weiß)
P2 muss aber davon ausgehen, dass 8 = 5+3 eine mögliche Zerlegung ist und hier wüsste P1 die Zahlen sofort. |
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