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Beitrag |
    
mathi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2007 - 15:08: | 
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Hallo Mathematiker,
ich möchte beweisen, welche der folgenden Abbildungen linear sind und den Kern angeben.
a) f1 (x1, x2, x3) := x1 + x2
b) f2 (x1, x2, x3) := x1 - x2/x3
c) f3 (x1, x2, x3) := x1 + 1
d) f4 (x1, x2, x3) := x1 - 2x2 + 3x3
Ich weiß, dass a) und d) linear sind und die anderen nicht. Ich weiß auch, dass ich folgendes beweisen muss
Additivität:
f (x1 + x2 +x3) = f(x1) + f(x2) + f(x3)
Homogenität:
f( k * x1) = kf(x1)
Soweit bin ich mit dem Buch gekommen.
Ich denke, dass ich das auch in einem Schritt zeigen kann:
f(k*x1 + x2 +x3) = f(k*x1) + f(x2) + f(x3)
Stimmt das?
Leider weiß ich nicht, wie ich den Beweis jetzt führen soll, sodass es auch formal in Ordnung ist? könnte mir jemand vielleicht zeigen, wie sowas geht? stecke am anfand des studiums und würde es gerne lernen!
Liebe Grüße :0)
mathi |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1277
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2007 - 18:48: |
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Du hast noch kleine Verständnisprobleme, wie mir scheint.
Für die Linearität ist zu zeigen, dass
(1) f(x+y)=f(x)+f(y)
(2) f(kx)=kf(x).
In den von Dir angegebenen Aufgaben ist x Element IR3, du musst deshalb aber nicht drei Elemente betrachten.
Nehmen wir mal als Beispiel f(x)=x1-x2+x3
Es ist f(kx) = kx1-kx2+kx3 = k(x1-x2+x3) = kf(x)
und f(x+y) = (x1-x2+x3)+(y1-y2+y3) = x1-x2+x3+y1-y2+y3
= x1+y1-x2-y2+x3+y3 = (x1+y1)-(x2+y2)+(x3+y3) = f(x+y)
Bei den Fällen, in der keine lineare Abbildung vorliegt, genügt ein Gegenbeispiel. Nehmen wir mal an es ist f(x)=x1*x2, dann ist f nicht linear, da für x=(1,0,0) und y=(0,1,0) f(x+y)=f((1,1,0))=1 aber f(x)+f(y)=0+0=0 |
mathi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Dezember, 2007 - 16:54: |
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hallo ingo, dankeschön!
das hat wirklich geholfen |
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