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Beitrag |
    
Lisa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Januar, 2006 - 12:09: | 
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Hallo, ich habe ein kleines Problem zu einer Aufgabe.Und zwar habe ich noch nicht genau verstanden, woran man sieht, dass eine abelsche Gruppe kommutativ, assoziativ,ist und ein neutrales Element und ein inverses Element hat.
Also die Frage zu der Aufgabe lauet:
Kann festgestellt werden, ob die Verknüpfung * auf der Menge M ={a,b,c,d} nach der Vorschrift der folgenden Tabelle (M,*) zu einer abelschen Gruppe macht.Dazu sollen die nötigen "Gruppenaxiome", also: Kommutativität, Assoziativität, neutrales Element und inverses Element überprüft werden.
*|a b c d
------------
a|d a b c
b|a b c d
c|b c d a
d|c d a b
Wie gesagt mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, woran man sieht, dass die Gruppe kommutativ, assoziativ usw. ist. Vielleicht kann mir hier ja jemand helfen.
Gruß Lisa |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1707
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Januar, 2006 - 00:53: |
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Hallo,
zu den Gruppeneigenschaften (Axiomen) gehört nicht unbedingt Kommutativität, d.h. eine Gruppe kann auch vorliegen, wenn keine Kommutativität gegeben ist. Erst wenn auch Kommutativität (Punkt 5 u.s. Liste) gegeben ist, heisst diese Gruppe abel'sche Gruppe!
Für eine Gruppe gilt:
1. Abgeschlossenheit
2. Assoziativität
3. Neutrales Element
4. Inverse Elemente
---------------------
5. Kommutativität
In der Verküpfungstabelle sind fast alle Eigenschaften direkt ablesbar.
Abgeschlossenheit: Alle Ergebnisse der Verküpfung gehören als Elemente der gegebenen Menge {a, b, c, d} an.
Jene Zeile (Spalte), in der die Reihenfolge der Elemente nochmals unverändert auftritt, bezeichnet das neutrale Element, man sieht, es ist die 2. Zeile (Spalte), daher ist das neutrale Element b.
a*b = b*a = a;
b*b = b;
c*b = b*c = c;
d*b = b*d = d
Dass die Verknüpfung kommutativ ist, ist daran erkenntlich, dass alle Zeilen (waagrecht) auch in allen Spalten (senkrecht) in unveränderter (!) Reihenfolge auftreten.
Assoziativität prüft man durch Stichproben, die inversen Elemente können mittels des neutralen Elementes ermittelt werden.
Hinweis: Alle möglichen Reihenfolgen der Elemente in den Zeilen (Spalten) ergeben sich durch zyklischen Wechsel:
d ® a ® b ® c
a ® b ® c ® d (d rückt nach hinten, a vorne)
b ® c ® d ® a (a rückt nach hinten, b vorne)
c ® d ® a ® b ( ... )
Assoz.:
(a*b)*c = a*(b*c) zu zeigen,
a*b = a; b*c = c
li. Seite: a*c
re. Seite: a*c
Inverse (mit hochgestelltem -1 bezeichnet):
a*c = b, da b neutrales Element ist, sind a und c zueinander invers: a-1 = c bzw. c-1 = a
usw.
Gr
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