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Induktion mit geometrischer Reihe

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Seta
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 18:08:   Beitrag drucken

Hallo!
Kann mir jemand vielleicht mit diesen beiden Aufgaben helfen: n>=1 und a= reelle Zahl
a)
Summe(k=0,n)2^n *3^k = 2^(n-1) *(3^(n+1)-1)

b)2^(n+1) *a-Summe(k=0,n)2^k *a= a

Bei a) braucht kann man die geometrische R. aber ich kann die Induktionsvorraussetzung nicht. Bei b komm ich garnicht vorran.
Danke im vorraus,Seta
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1957
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 19:08:   Beitrag drucken

Hallo Seta

Du brauchst hier keine Induktion, wenn du die geometrische Summenformel schon kennst. Dann ist

a) Summe(k=0,n)2^n *3^k
=2^n*Summe(k=0,n) 3^k
=2^n*(1-3^(n+1))/(1-3)
=2^(n-1)*(3^(n+1)-1)

b) 2^(n+1) *a-Summe(k=0,n)2^k *a
=2^(n+1) *a-(1-2^(n+1))/(1-2) *a
=2^(n+1)*a+a-2^(n+1)*a
=a

MfG
Christian
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Seta
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 19:47:   Beitrag drucken

Hallo Christian!
Danke für die Antwort!!!
Hab nurnoch ne vielleicht blöde Frage:
wie kommst du bei a) von 2^n*(1-3^(n+1)/(1-3)
auf 2^(n-1)*(3^(n+1)-1) ???
Gruß Seta
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1958
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 21:12:   Beitrag drucken

Hallo Seta

1-3=-2 :-)
Das "-" vor der 2 dreht die Vorzeichen im ZÜhler rum, die 2 kÜrzt sich mit 2^n zu 2^(n-1)

MfG
Christian
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Seta
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 04. November, 2005 - 14:39:   Beitrag drucken

Oh, stimmt! Danke nochmals.Es sieht immer so einfach aus wenn andere die Antworten rechnen....aber selber hätte ich das nicht gekonnt!
gruß Seta
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1965
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 04. November, 2005 - 14:41:   Beitrag drucken

Hallo nochmal

Hier wurden die gleichen Aufgaben gestellt:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/6828.html
(die beiden oberen threads)

Dort habe ich mal eine LÜsung mit Induktion gemacht, falls es dich interessiert.

MfG
Christian
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Seta
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 04. November, 2005 - 16:09:   Beitrag drucken

hmmm, ich habe das auch mit induktion ausprobiert, bin aber nicht besonders weit gekommen...mit der geo.summenformel geht es einfacher...trotzdem vielen dank!!
Gruß Seta

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