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Einfache Überlegung?

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Seb111
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Juni, 2005 - 18:27:   Beitrag drucken

Moin moin, ich hab hier ne einfache Aufgabe, weiß aber nicht so recht, wie ich da ran gehen soll, eventuell habt ihr ne Idee?

Zeigen Sie, dass y´=cos(x+y)+sin(x-y) genau eine Lösung y:R->R mit y(0)=0 hat.
Hinweis: Satz Picard-Lindelöf

Vielen Dank schon mal für eure Mühe!

Mit freundlichen Grüßen Seb111
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1052
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Juni, 2005 - 21:58:   Beitrag drucken

Seb,

Hinweis:
Kürze die rechte Seite mit F(x,y) ab. Dann muss man zeigen, dass eine Lipschitz-Bedingung

|F(x,y1) - F(x,y2)| £ L*|y1-y2|

erfüllt ist. Mit Hilfe der Additionstheoreme

cos u - cos v

= -2 sin((u+v)/2)sin((u-v)/2),

sin u - sin v

= 2 cos((u+v)/2)sin((u-v)/2)

und

|sin t | < |t|

rechnet man nach, dass L = 2 das Verlangte leistet.
mfG Orion

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