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affine und isometrisch Äquivalent

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1786
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Juni, 2005 - 21:58:   Beitrag drucken

Hi,

Sei IR2 affiner Raum über IR2.
ich habe zwei quadratische Funktionen gegeben:
fl(x,y):=2*x2-l*y2+y+2
g(x,y):=x*y-x

a)Für welche l sind die Quadriken:
Z(fl) und Z(g) isometrisch äquivalent?
b)Für welche l sind fl und g affin äquivalent?

Also:
Z(g)={P € IR2 | g(P)=0 }
d.h. g(x,y)=0
=> x*y-x=0 => x=0 oder y=1
Das sind doch zwei Geraden. Muss ich dann l so bestimmen das Z(fl) auch in zwei Geraden zerfällt? Oder wie ist isometrische Äquivalenz zu verstehen?

Und b) da geht es ja um die Funktionen.
Ich galube da muss ich eine affine Isomorphie f angeben, s.d.:
g(f(x,y))=fl(x,y)
Wie gehe ich da am besten ran? Erst die l bestimmen? Oder einen Iso f ansetzen und dann schauen ob ich sehen kann für welche l Äquivalenz möglich ist?

Mit affinen Räumen hab ich noch so kleine Probleme...

mfg
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1053
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Juni, 2005 - 14:06:   Beitrag drucken

Ferdi,

Wenn ich

F(x,y) = (ax+by+c, dx+ey+f)

setze und

g(F(x,y) = k fl(x,y)

verlange, so ergeben sich die Bedingungen

(1) ad=2k , (2) be=-lk , (3) ae+bd = 0

(4) a(f-1)+cd = 0 , (5) b(f-1)+ce = k ,

(6) c(f-1)=2k.

Dabei ist k ein Skalarfaktor.
Es folgt leicht a=c=0, das ergibt keinen Sinn.
Habe ich etwas falsch verstanden ?
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1787
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Juni, 2005 - 17:47:   Beitrag drucken

Hi Orion,

ich habe auch erst so gerechnet. Kam zu keinem Ergebniss. Dann habe ich mit dem Prof gesprochen, und er meinte:

Die Funktionen sind affin äuivalent, wenn ihre Normalformen in der selben Äquivalenzklasse liegen.

Daher berechne ich die affine Normalform von g und f zu:
g(X,Y)=X^2-Y^2
fl(X,Y)=X^2-Y^2 + 1/(4l) + 2

X,Y soll andeuten das ich die Koordinaten transfomiert und verschoben habe! Diese Funktionen liegen also genau dann in einer Äquivalenzklasse, wenn l=-1/8.
Einige Umformungen gingen nur unter der Annahme l > 0.

mfg

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