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dezimalstellenberechnung

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Shan22 (Shan22)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Shan22

Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 13:36:   Beitrag drucken

hi!

wisst ihr wie man dezimalstelln berechnet
zum bsp mit folgendem bsp:

7^7^7 hat 695 975 Dezimalstellen. wie berechnet man die beiden letzten stellen?

lg
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2826
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 14:56:   Beitrag drucken

7^(4n+r) kongruent 7^r mod 100 mit 0 < r < 4,
alle Kongruenzen nun mod 100

1,7,49,43

7^7 kongruent 7^3 kongruent 43 = 10*4+3
==> 7^7^7 kongruent 7^3 kongruent 43
==> die letzten beiden Dez.stelle sind 43
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 15:27:   Beitrag drucken

Da (7^7)^7 = 49^7 offensichtlich nicht 695 975 Stellen hat, sind die letzten beiden Stellen der Zahl

c:= 7^(7^7) = 7^823543

gesucht.

Die letzten Stellen einer Potenz a^n, in der a und n natürliche Zahlen sind und n sehr groß ist, lassen sich nur dann einfach berechnen, wenn die letzte Stelle von a die Ziffer 1 ist, denn dann kann die Potenz nach dem binomischen Lehrsatz als Summe von Zahlen darstellen, von denen die meisten keine Auswirkung auf die letzten Stellen der Potenz haben.

Das Vorgehen wird klarer, wenn man im vorliegenden Fall anwendet:

Es ist

7^1 = 7
7^2 = 49
7^3 = 342
7^4 = 2401 – eine Zahl mit der Endziffer 1!

Also:

c = 7^823543 = 7^(4 * 205885 + 3) = (7^4)^205885 * 7^3 = 2401^205885 * 343

Nach dem binomischen Lehrsatz ist

2401^205885 = (2400 + 1)^205885 = Summe [k = 0 bis 205885] (205885 über k) 2400^k * 1^(205885 – k)
= Summe [k = 0 bis 205885] (205885 über k) 24^k * 100^k

Für die letzten beiden Stellen der Zahl 2401^205885 ist nur der Summand für k = 0 relevant, denn alle anderen Summanden sind Vielfache von 100. Da der Summand für k = 0 den Wert (205885 über 0) 24^0 * 100^0 = 1 hat, ist 2401^205885 von der Form 100*d + 1 und damit

c = (100*d + 1) * 343 = d * 34300 + 343

Also ist c von der Form

c = e * 100 + 43,

d. h. die letzten beiden Stellen von c sind 43.
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 15:40:   Beitrag drucken

Korrektur: Da (7^7)^7 = 823543^7 offensichtlich ...
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2828
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 17:49:   Beitrag drucken

normalerweise lieÜt
man 7^7^7 als 777
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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