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Größte/kleinste reele Zahl in Abhängi...

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Christine
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 23:11:   Beitrag drucken

Also ich soll in Abhängigkeit von n die größte reele Zahl C und die kleinste reele Zahl D für die die folgende Aussage gilt angeben:

es gilt x element R^n: C * //x//unendlich < /x/ <D*//x//unendlich.

Kann mir dazu vielleicht irgendjemand ne Hilfestellung geben?Dankeschön
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Juni, 2005 - 11:02:   Beitrag drucken

Die Norm /. / dürfte dabei eine p-Norm sein (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum#p-Normen), also

/x/ = (Summe [i = 1 ... n] |x_i|^p ) ^ (1/p)

für ein p >= 1 (z. B. p = 2).

Verglichen werden soll sie mit der Norm

//x//unendlich = max [i = 1 ... n] x_i

Sei für einen Vektor x der Eintrag x_k derjenige Eintrag mit dem größten Betrag, also //x//unendlich = |x_k|.

Dann ist einerseits

/x/ = (|x_k|^p + Summe [i = 1 ... n, i != k] |x_i|^p ) ^ (1/p) >= (|x_k|^p + Summe [i = 1 ... n, i != k] 0 ) ^ (1/p) = (|x_k|^p) ^ (1/p) = |x_k| = //x//unendlich

andererseits

/x/ = (Summe [i = 1 ... n] |x_i|^p ) ^ (1/p) <= (Summe [i = 1 ... n] |x_k|^p ) ^ (1/p) = (n * |x_k|^p ) ^ (1/p) = n^(1/p) * |x_k| = n^(1/p) * //x//unendlich

also insgesamt

//x//unendlich < /x/ < n^(1/p) * //x//unendlich

Damit sind mögliche Intervallgrenzen

C = 1, D = n^(1/p)

Dass es kein kleineres Intervall gibt, diese Grenzen also „scharf“ sind, erkennt man dadurch, dass man x = (1, 0, ..., 0) bzw. x = (1, 1, ..., 1) in die Ungleichung einsetzt.

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