Autor |
Beitrag |
Christine
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 23:11: |
|
Also ich soll in Abhängigkeit von n die größte reele Zahl C und die kleinste reele Zahl D für die die folgende Aussage gilt angeben: es gilt x element R^n: C * //x//unendlich < /x/ <D*//x//unendlich. Kann mir dazu vielleicht irgendjemand ne Hilfestellung geben?Dankeschön |
dirk
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Juni, 2005 - 11:02: |
|
Die Norm /. / dürfte dabei eine p-Norm sein (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum#p-Normen), also /x/ = (Summe [i = 1 ... n] |x_i|^p ) ^ (1/p) für ein p >= 1 (z. B. p = 2). Verglichen werden soll sie mit der Norm //x//unendlich = max [i = 1 ... n] x_i Sei für einen Vektor x der Eintrag x_k derjenige Eintrag mit dem größten Betrag, also //x//unendlich = |x_k|. Dann ist einerseits /x/ = (|x_k|^p + Summe [i = 1 ... n, i != k] |x_i|^p ) ^ (1/p) >= (|x_k|^p + Summe [i = 1 ... n, i != k] 0 ) ^ (1/p) = (|x_k|^p) ^ (1/p) = |x_k| = //x//unendlich andererseits /x/ = (Summe [i = 1 ... n] |x_i|^p ) ^ (1/p) <= (Summe [i = 1 ... n] |x_k|^p ) ^ (1/p) = (n * |x_k|^p ) ^ (1/p) = n^(1/p) * |x_k| = n^(1/p) * //x//unendlich also insgesamt //x//unendlich < /x/ < n^(1/p) * //x//unendlich Damit sind mögliche Intervallgrenzen C = 1, D = n^(1/p) Dass es kein kleineres Intervall gibt, diese Grenzen also „scharf“ sind, erkennt man dadurch, dass man x = (1, 0, ..., 0) bzw. x = (1, 1, ..., 1) in die Ungleichung einsetzt. |
|